Математика. Быкадорова Г.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

24
По формуле интегрирования по частям
∫∫
+−=−= Cxxx
x
dx
xxxxdx lnlnln
.
Пример 2.10. Найти неопределенный интеграл
∫
xdxarcsin
.
Решение . Применим метод интегрирования по частям :
;
1
arcsin
2
x
dx
duxu
−
=⇒=
xvdxdv
=
⇒
=
.
По формуле интегрирования по частям
∫∫
−
−=
2
1
arcsinarcsin
x
dx
xxxxdx
.
Интеграл
∫
−
2
1 x
dx
x
находится применением подстановки zx =−
2
1 ,
которая дает:
2
2
dz
xdxdzxdx −=⇒=−
, поэтому
∫∫
−−=−=−=
−
2
2
1
2
1
1
xz
z
dz
x
dx
x
.
В результате получим
Cxxxxdx +−+=
∫
2
1arcsinarcsin
.
Пример 2.11. Найти неопределенный интеграл
(
)
−
− dxex
x 3
52
.
Решение . Применим метод интегрирования по частям :
;252 dxduxu
=
⇒
−
=
xx
evdxedv
33
3
1
−−
−=⇒=
.
По формуле интегрирования по частям
() () ()
∫∫∫
=+−−=
−−−−=−
−−−−−
dxeexdxeexdxex
xxxxx 33333
3
2
52
3
1
3
2
52
3
1
52
()
Ce
x
Ceex
xxx
+
−
=+−−−=
−−− 333
9
613
9
2
52
3
1
.
Задания
2.6. Методом интегрирования по частям найти следующие интегралы .
2.6.1.
∫
xarctgxdx
. 2.6.2.
(
)
∫
+− xdxxx 5cos23
2
. 2.6.3.
∫
− dxx
2
4 .
2.6.4.
∫
xdxx ln
. 2.6.5.
∫
−
dxxe
x2
. 2.6.6.
∫
xdxx 2cos
.
2.6.7.
∫
xdxln
. 2.6.8.
(
)
∫
+− xdxxx 5cos23
2
. 2.6.9.
∫
− dxx
2
4 .
2.6.10.
(
)
∫
− dxxx 1ln
. 2.6.11.
∫
xdxx cos
2
. 2.6.12.
∫
xdxe
x
sin
.
2.6.13.
(
)
∫
dxx
2
ln
. 2.6.14.
(
)
∫
+ dxx 1ln
2
. 2.6.15.
∫
−
dxex
x3
.
2.6.16.
∫
dx
x
x
2
sin
. 2.6.17.
∫
dx
x
x
2
ln
. 2.6.18.
∫
+
dx
x
x
1
arcsin
. 
                                                                 24

    По формуле интегрирования по частям
                                                                         dx
                                       ∫ln xdx =x ln x −∫x                x
                                                                            = x ln x −x +C .

Пример 2.10. Найти неопределенный интеграл ∫arcsin xdx .
   Решение. Применим метод интегрирования по частям:
                                        dx
             u =arcsin x ⇒ du =               ;   dv =dx ⇒ v = x .
                                       1 −x 2
   По формуле интегрирования по частям
                                                      dx
                      ∫ arcsin xdx = x arcsin x −∫ 1 −x 2 .
                                                  x

                             dx
   Интеграл       ∫x                     находится применением подстановки 1 −x 2 =z ,
                            1 −x   2


   которая дает:
                                   dz                                       dx    1 dz
   −2 xdx =dz ⇒              xdx =− , поэтому                         ∫x        =− ∫ =− z =− 1 −x 2 .
                                   2                                       1 −x  22  z
   В результате получим ∫arcsin xdx =x arcsin x + 1 −x +C .
                                                                                          2



Пример 2.11. Найти неопределенный интеграл ∫(2 x −5)e dx .                                    −3 x


    Решение. Применим метод интегрирования по частям:
                                                                                                  1
               u =2 x −5 ⇒                 du =2dx;                     dv =e −3 x dx ⇒       v =− e −3 x .
                                                                                                  3
    По формуле интегрирования по частям
                                1                  � 2        �        1             2
       ∫(2 x −5)e          dx =− (2 x −5)e −3 x −∫� − e −3 x � dx =− (2 x −5)e −3 x + ∫e −3 x dx =
                    −3 x

                                3                   � 3         �      3             3
                                1                2                13 −6 x −3 x
                              =− (2 x −5)e −3 x − e −3 x +C =            e +C .
                                3                9                   9
                                                          Задания
2.6. Методом интегрирования по частям найти следующие интегралы.
   2.6.1. ∫xarctgxdx . 2.6.2. ∫(x 2 −3x +2 )cos 5 xdx . 2.6.3. ∫ 4 −x 2 dx .

                                                ∫xe
                                                          −2 x
   2.6.4. ∫x ln xdx .                  2.6.5.                    dx .                  2.6.6.        ∫x cos 2 xdx .
   2.6.7. ∫ln xdx .                             ∫(x       −3 x +2 )cos 5 xdx .                       ∫   4 −x 2 dx .
                                                      2
                                       2.6.8.                                          2.6.9.
   2.6.10. ∫x ln(x −1)dx . 2.6.11.               ∫x                                    2.6.12. ∫e x sin xdx .
                                                          2
                                                              cos xdx .
   2.6.13. ∫(ln x )2 dx .              2.6.14. ∫ln (x 2 +1)dx .                        2.6.15. ∫x 3 e −x dx .
                 x                                ln x                                                   arcsin x
   2.6.16.   ∫sin 2 x dx .             2.6.17.   ∫ x 2 dx .                            2.6.18.        ∫    1 +x
                                                                                                                    dx .

Страницы