Математика. Быкадорова Г.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

23
2.4. Найти неопределенные интегралы , используя замену
∫∫
+==
′
Cu
u
du
u
dxu
ln ,
т.е. если числитель подынтегральной дроби есть производная от
знаменателя, то интеграл равен логарифму модуля знаменателя.
2.4.1.
∫
+
−
−
dx
x
x
x
7
5
52
2
. 2.4.2.
∫
+
dx
x
x
1
2
. 2.4.3.
∫
−
dx
x
10
1
1
.
2.4.4.
∫
ctgxdx . 2.4.5.
∫
xdxx cossin
2
. 2.4.6.
∫
tgxdx .
2.4.7.
∫
−
dx
e
e
x
x
2
2
3
1
. 2.4.8.
∫
+
dx
x
x
2
1
cos
. 2.4.9.
∫
dx
x
x
x
cos
2cos
.
2.5. Найти интегралы .
2.5.1.
∫
dx
x
x
4
cos
. 2.5.2.
∫
dx
x
x
3
cos
sin
. 2.5.3.
∫
−
dx
x
x
2
cos21
.
2.5.4.
∫
xdxx cossin
. 2.5.5.
∫
xdxe
x
sin
cos
. 2.5.6.
∫
dxxe
x 2
3
.
2.3. Интегрирование по частям
Пусть u и v – дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно,
(
)
vduudvuvd +=
,
откуда следует
(
)
vduuvdudv
−
=
.
Интегрирование обеих частей этого равенства дает
(
)
∫
∫
∫
−= vduuvdudv
,
∫
∫
−= vduuvudv
.
Это формула интегрирования по частям , позволяющая переходить от
заданного интеграла
∫
udv
к интегралу
∫
vdu
. Последний интеграл при
удачном разбиении подынтегрального выражения на u и dv может
оказаться более простым, чем первоначальный.
Эта формула часто применяется, когда подынтегральной функцией
является:
- логарифмическая или обратная тригонометрическая функция;
- произведение каждой из этих функций на алгебраическую ;
- произведение , содержащее алгебраические , тригонометрические ,
показательные функции,
и в некоторых других случаях .
Для интегралов вида
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∫
mxdxxPmxdxxPdxexP
ax
cos,sin,
за u
принимается многочлен
(
)
xP , а для интегралов вида
(
)
∫
,lnxdxxP
(
)
∫
,arcsin xdxxP
(
)
∫
arctgxdxxP
за u принимается
arctgxxx ,arcsin,ln
.
Пример 2.9. Найти неопределенный интеграл
∫
xdxln
.
Решение . Применим метод интегрирования по частям :
;ln
x
dx
duxu =⇒=
xvdxdv
=
⇒
=
. 
                                                       23
2.4.        Найти                   неопределенные интегралы, используя замену
                                           u ′dx     du
                                          ∫u       =∫ =ln u +C ,
                                                     u
   т.е. если числитель подынтегральной дроби есть производная от
   знаменателя, то интеграл равен логарифму модуля знаменателя.
                  2 x −5                              x                               1
   2.4.1. ∫x −5x +7 dx .
              2
                                            2.4.2. ∫
                                                    x +1
                                                       2
                                                           dx .         2.4.3.   ∫1 −10 x dx .
   2.4.4. ∫ctgxdx .                         2.4.5. ∫sin 2 x cos xdx .   2.4.6.   ∫tgxdx .
                   2x
               e                                           cos x                     cos 2 x
   2.4.7.   ∫1 −3e      2x
                             dx .           2.4.8.   ∫1 +2 sin x dx .   2.4.9.   ∫sin x cos x dx .
2.5. Найти интегралы.
             cos x                                     sin x                      1 −2 cos x
   2.5.1.   ∫sin
               4
                 x
                   dx .                     2.5.2.   ∫cos 3
                                                            x
                                                              dx .      2.5.3.   ∫  sin 2 x
                                                                                             dx .


                                                                                 ∫
                                                                                      3
                                                                                x 2
   2.5.4. ∫sin x cos xdx .                  2.5.5. ∫e cos x sin xdx .   2.5.6. e x dx .
                                     2.3. Интегрирование по частям
    Пусть u и v – дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно,
                               d (uv ) =udv +vdu ,
откуда следует udv =d (uv ) −vdu .
Интегрирование обеих частей этого равенства дает
                  ∫udv =∫d (uv ) −∫vdu , ∫udv =uv −∫vdu .
   Это формула интегрирования по частям, позволяющая переходить от
                                                               ∫
заданного интеграла ∫udv к интегралу vdu . Последний интеграл при
удачном разбиении подынтегрального выражения на u и dv может
оказаться более простым, чем первоначальный.
    Эта формула часто применяется, когда подынтегральной функцией
является:
- логарифмическая или обратная тригонометрическая функция;
- произведение каждой из этих функций на алгебраическую;
- произведение, содержащее алгебраические, тригонометрические,
  показательные функции,
 и в некоторых других случаях.
     Для интегралов вида ∫P (x )e ax dx , ∫P (x )sin mxdx , ∫P (x )cos mxdx за u
принимается многочлен                     P(x ),    а для интегралов вида             ∫P(x)lnxdx,
∫P(x )arcsin xdx, ∫P(x )arctgxdx за u принимается ln x, arcsin x, arctgx .
Пример 2.9. Найти неопределенный интеграл ∫ln xdx .
   Решение. Применим метод интегрирования по частям:
                                dx
                u =ln x ⇒ du = ;       dv =dx ⇒ v = x .
                                 x

Страницы