Математика. Быкадорова Г.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

25
2.4. Определенный интеграл
Определение . Приращение
(
)
(
)
aFbF
−
любой из первообразных функций
(
)
CxF
+
при изменении аргумента от
a
x
=
до bx
=
называется
определенным интегралом и обозначается
()
∫
b
a
dxxf
.
Таким образом ,
()()()
aFbFdxxf
b
a
−=
∫
, где а – нижний предел
интегрирования; b – верхний предел интегрирования. Последняя формула
называется формулой Ньютона - Лейбница .
Для вычисления определенного интеграла
()
∫
b
a
dxxf
нужно найти
соответствующий неопределенный интеграл, в полученное его выражение
подставить вместо х сначала верхний , а затем нижний пределы
определенного интеграла и из первого результата вычесть второй :
()() ()()
aFbFxFdxxf
b
a
b
a
−==
∫
.
Свойства определенного интеграла
1.
()()
∫∫
=⋅
b
a
b
a
dxxfAdxxfA
- где А – const.
2.
()()()
[]
()()()
∫∫∫∫
−+=−+
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxfxfxf
321321
.
3.
()()
∫∫
−=
b
a
a
b
dxxfdxxf
.
Пример 2.12.
()
∫
−
−
=
−−−
+=
+=+
1
1
1
1
3
2
3
2
21
3
1
1
3
1
3
1 x
x
dxx .
При нахождении определенного интеграла методом замены
переменной необходимо изменить пределы интегрирования в соответствии
с подстановкой .
Пример 2.13.
()
81913
2
4124
22
3
1
2
3
1
2
1
=−=−===−
∫∫
t
dt
tdxx
.
Здесь была сделана замена:
2
12
dt
dxtx =⇒=−
.
Задания
2.7. Вычислить определенный интеграл.
2.7.1.
∫
2
1
xdx
. 2.7.2.
∫
3
0
2
dxx
. 2.7.3.
∫
1
2
1
3
dxx
. 
                                                                    25

                                        2.4.     Определенный интеграл
Определение. Приращение F (b ) −F (a ) любой из первообразных функций
F (x ) +C при изменении аргумента от x =a до x =b называется
                                                                                      b

определенным интегралом и обозначается                                                ∫f (x )dx .
                                                                                      a
                                         b

Таким образом,                           ∫f (x )dx =F (b ) −F (a ),
                                         a
                                                                                          где а – нижний предел

интегрирования; b – верхний предел интегрирования. Последняя формула
называется формулой Ньютона-Лейбница.
                                                                                                    b

     Для вычисления определенного интеграла                                                         ∫f (x )dx
                                                                                                    a
                                                                                                                   нужно найти

соответствующий неопределенный интеграл, в полученное его выражение
подставить вместо х      сначала верхний, а затем нижний пределы
определенного интеграла и из первого результата вычесть второй:
                                             b

                                             ∫f (x )dx =F (x )                      =F (b ) −F (a ) .
                                                                            b
                                                                                a
                                             a
                                        Свойства определенного интеграла
          b                         b

     1. ∫A ⋅ f (x )dx = A∫f (x )dx - где А – const.
          a                         a
          b                                          b                      b                b

     2.   ∫[ f1 (x ) + f 2 (x ) − f 3 (x )]dx =∫f1 (x )dx +∫f 2 (x )dx −∫f 3 (x)dx .
          a                                           a                     a                a
          b                     a

     3.   ∫f (x )dx =−∫f (x )dx .
          a                     b
                                                          1
                    1
                          � x3       �                           � 1 � � 1 �
                        (
Пример 2.12. ∫ x +1 dx =��  2
                               +x ��)                                            2
                                                               =� +1� −� − −1� =2 .
             −1            � 3         �                  −1
                                                                  � 3 � � 3 �    3
    При нахождении определенного интеграла методом замены
переменной необходимо изменить пределы интегрирования в соответствии
с подстановкой.
                    2                            3
                               dt
Пример 2.13. ∫4(2 x −1)dx =4 ∫t =t 1
                                                                    3
                                  2
                                                                        =3 2 −12 =9 −1 =8 .
                    1                            1
                                                      2
                                                                                                        dt
          Здесь была сделана замена: 2 x −1 =t ⇒                                                 dx =      .
                                                                                                        2
                                                              Задания
2.7. Вычислить определенный интеграл.
              2                                                 3                                              1

              ∫xdx .                                           ∫x                                              ∫x dx .
                                                                        2                                          3
   2.7.1.                                            2.7.2.                 dx .                    2.7.3.
              1                                                 0                                              1
                                                                                                               2

Страницы