Математика. Быкадорова Г.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциал дуги плоской кривой )( xy равен
dxydydxds
222
1
′
+=+= . Тогда длина L дуги , заключенной между
вертикальными прямыми
a
x
=
и
bx
=
будет
∫
′
+=
b
a
dxyL
2
1 .
Пример 2.18. Вывести формулу вычисления длины окружности
222
ryx =+ .
Решение . Уравнение дуги
22
xry −= , откуда
22
xr
x
y
−
−=
′
.
Вычислим длину окружности в первой четверти:
∫∫
=⋅=
−
=
−
+=
r
r
r
r
r
x
rdx
xr
x
dx
xr
xL
0
0
22
0
22
2
2
arcsin1
4
π
.
Тогда длина всей окружности rL
π
2
=
.
Вычисление объемов тел вращения
При вращении вокруг оси 0х криволинейной трапеции, ограниченной
кривой )( xy , осью 0х и прямыми
a
x
=
и bx
=
, получается тело вращения
(рис.2.2,а), объем V которого равен интегралу
()
∫∫
==
b
a
b
a
dxxydxxsV
2
)()( π .
При вращении вокруг оси 0y криволинейной трапеции, ограниченной
кривой
)( xy
, осью 0y и прямыми
a
y
=
и
by
=
, получается тело вращения
(рис.2.2,б), объем V которого равен интегралу
()
∫∫
==
b
a
b
a
dyyxdyysV
2
)()( π .
Пример 2.19. Определить объем тела, образованного вращением вокруг
оси 0х криволинейной трапеции, ограниченной линиями: xy 2
2
= и 2
=
x .
Решение . Найдем точки пресечения кривой xxy 2)( = с прямыми 2
=
x
и 0
=
x из условий
xx = 2
и
02 = x
: 2
1
=
x , 0
2
=
x . Тогда объем тела
вращения будет равен
()
πππ 42
2
0
2
0
2
2
===
∫
xdxxV
.
а
b
x
y
(
)
2
)()( xyxs π=
0
а
b
x
y
(
)
(
)
2
)( yxys π=
0
x
а) б)
Рис.2.2. Тела, образованные вращением вокруг осей 0х (а) и 0y (б). 
                                                   28

                            Вычисление длины дуги плоской кривой

     Дифференциал        дуги   плоской  кривой     y (x)  равен
ds = dx +dy = 1 +y ′ dx . Тогда длина L дуги, заключенной между
        2       2            2

                                                                b
вертикальными прямыми x =a и x =b будет L =∫ 1 +y ′ 2 dx .
                                                                a

Пример 2.18. Вывести формулу вычисления длины окружности x 2 +y 2 =r 2 .
                                                                                         x
   Решение. Уравнение дуги y = r 2 −x 2 , откуда y ′ =−                                              .
                                                                                 r −x 2
                                                                                     2


   Вычислим длину окружности в первой четверти:
                                                                                 r
                                                                π
                        r                      r
               L          x2            x                  x
                 =∫ 1 + 2      dx =∫        dx =r ⋅ arcsin    =r .
               4 0     r −x  2
                                   0 r −x
                                      2   2                r0   2
   Тогда длина всей окружности L =2π r .
                                 Вычисление объемов тел вращения
    При вращении вокруг оси 0х криволинейной трапеции, ограниченной
кривой y(x) , осью 0х и прямыми x =a и x =b , получается тело вращения
                                                                        b                    b
(рис.2.2,а), объем V которого равен интегралу V =∫s( x)dx =π ∫(y( x) )2 dx .
                                                                        a                    a

    При вращении вокруг оси 0y криволинейной трапеции, ограниченной
кривой y(x) , осью 0y и прямыми y =a и y =b , получается тело вращения
                                                                            b                    b
(рис.2.2,б), объем V которого равен интегралу V =∫s( y)dy =π ∫(x( y) )2 dy .
                                                                            a                    a

                                                                             y
            y s( x) =π (y ( x) )
                                  2

                                                                            b


                                                                                     s( y ) =π (x(y ))
                                                                                                         2


        0   а                     b    x                                    а

                                                                    0            x               x

                             а)                                                          б)
        Рис.2.2. Тела, образованные вращением вокруг осей 0х (а) и 0y (б).

Пример 2.19. Определить объем тела, образованного вращением вокруг
  оси 0х криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y 2 =2 x и x =2 .
   Решение. Найдем точки пресечения кривой y ( x) = 2 x с прямыми x =2
   и x =0 из условий 2 x =x и 2 x =0 : x1 =2 , x2 =0 . Тогда объем тела
                                                                    2

                                               ( )
                                           2
                                                        2
    вращения будет равен V =π ∫ 2 x dx =π x                             =4π .
                                                            2

                                           0                        0

Страницы