Математика. Быкадорова Г.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
Задания
2.8. Найти площадь фигуры , ограниченной заданными линиями.
2.8.1. 7,6
=
−
−
=
xyxy . 2.8.2. 1,1,0, =−=== xxyey
x
.
2.8.3. exyxy
=
=
=
,0,ln . 2.8.4. 0,4
2
=−= yxy .
2.8.5. 0,23
2
=−−= yxxy . 2.8.6. 4,1,0,4
=
=
=
=
xxyxy .
2.8.7.
22
2, xyxy −== . 2.8.8. 4,4
2
+=+= xyxxy .
2.8.9 0,8,
3
=== xyxy .
2.9. Вычислить площадь, ограниченную линиями ,54
2
++= xxy
0,0
=
=
xy и минимальной ординатой .
2.10. Вычислить площадь, ограниченную одной полуволной синусоиды
xy sin
=
и
0
=
y
.
2.11. Найти путь, пройденный телом за 3 с от начала движения, при
скорости tt 23
2
+= υ см/с.
2.12. При скорости неравномерного движения 26
2
−= t υ см/с определить
путь, пройденный телом с пятой по десятую секунды .
2.13. Определить объем тела, образованного вращением заданной фигуры
с ограничивающими линиями:
а) 1
9
4
22
=−
yx
и 3
±
=
y вокруг оси 0y;
б) 4
=
xy , 1
=
x , 4
=
x и 0
=
y вокруг оси 0х;
в)
(
)
xy 22
2
=− , 0
=
x , 4
=
y вокруг оси 0х;
г)
(
)
3
2
4+= xy и 0
=
x вокруг оси 0y;
д) xy −= 4
2
и 0
=
x вокруг оси 0y;
е) xxy −= , 4
−
=
x и 0
=
y вокруг оси 0y;
ж )
4
4
2
x
y −= и 4
=
+
yx вокруг оси 0y;
з) xy sin
=
(одной полуволной ) и 0
=
y вокруг оси 0х;
и)
2
1
1
x
y
+
=
, 1
±
=
x и 0
=
y вокруг оси 0х;
к )
3
xy = , 0
=
x , 8
=
y вокруг оси 0y;
л) 4
22
=− yx и 4
±
=
x вокруг оси 0x.
3. Обыкновенные дифференциальные уравнения
3.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Пример 3.1. Найти уравнение кривой y(x), у которой угловой коэффициент
касательной в любой точке равен удвоенной абсциссе и которая
проходит через точку с координатами (0;0).
Решение . Угловой коэффициент касательной есть первая
производная, и по условию она равна 2х:
x
dx
dy
2=
или
xdxdy 2
. 
                                        29

                                    Задания
2.8. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.
   2.8.1. xy =−6, y −x =7 .            2.8.2. y =e x , y =0, x =−1, x =1 .
   2.8.3. y =ln x, y =0, x =e .        2.8.4. y =4 −x 2 , y =0 .
   2.8.5. y =3 −2 x −x 2 , y =0 .      2.8.6. xy =4, y =0, x =1, x =4 .
   2.8.7. y =x , y =2 −x .
               2            2
                                       2.8.8. y =x 2 +4 x, y =x +4 .
   2.8.9 y =x 3 , y =8, x =0 .
2.9. Вычислить площадь, ограниченную линиями y =x 2 +4 x +5,
     y =0, x =0 и минимальной ординатой.
2.10. Вычислить площадь, ограниченную одной полуволной синусоиды
       y =sin x и y =0 .
2.11. Найти путь, пройденный телом за 3 с от начала движения, при
      скорости υ =3t 2 +2t см/с.
2.12. При скорости неравномерного движения υ =6t 2 −2 см/с определить
      путь, пройденный телом с пятой по десятую секунды.
2.13. Определить объем тела, образованного вращением заданной фигуры
      с ограничивающими линиями:
        x2 y2
     а)    − =1 и y =±3 вокруг оси 0y;
        4    9
     б) xy =4 , x =1 , x =4 и y =0 вокруг оси 0х;
     в)   (y −2)2 =2 x , x =0 , y =4 вокруг оси 0х;
     г)   y 2 =(x +4 ) и x =0 вокруг оси 0y;
                      3


     д)    y 2 =4 −x и x =0 вокруг оси 0y;
     е)   y = x −x , x =−4 и y =0 вокруг оси 0y;
                 x2
     ж) y =4 −        и x +y =4 вокруг оси 0y;
                 4
     з) y =sin x (одной полуволной) и y =0 вокруг оси 0х;
               1
     и) y =         , x =±1 и y =0 вокруг оси 0х;
           1 +x 2
     к) y =x 3 , x =0 , y =8 вокруг оси 0y;
     л) x 2 −y 2 =4 и x =±4 вокруг оси 0x.
             3. Обыкновенные дифференциальные уравнения
          3.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Пример 3.1. Найти уравнение кривой y(x), у которой угловой коэффициент
  касательной в любой точке равен удвоенной абсциссе и которая
  проходит через точку с координатами (0;0).
      Решение. Угловой коэффициент касательной есть первая
  производная, и по условию она равна 2х:
                            dy
                               =2 x или dy =2 xdx .
                            dx

Страницы