Математика. Быкадорова Г.В. - 31 стр.

                                          31
        ms ′′ =−mg или s ′′ =g .
     При t=0 точка находится в начале координат и имеет начальную
  скорость υ0 ( s ′ =υ ), т.е. искомая функция должна удовлетворять
  начальным условиям: s (0) =0 и s ′(0) =υ 0 .
                                                           dυ
     Так как s ′ =υ ⇒ s ′′ =υ ′ , то υ ′ =−g        или       =−g ,
                                                           dt
  откуда dυ =−gdt ⇒ ∫dυ =−g ∫dt ⇒ υ =−gt +C1 .
  Из второго начального условия находим постоянную                             С1:
  υ 0 =−g ⋅ 0 +C1 ⇒ C1 =υ 0 . Следовательно, υ =υ 0 −gt . Тогда
                        ds
                           =υ 0 −gt или        ds =υ 0 dt −gtdt .
                        dt
  Интегрированием полученного уравнения находится закон движения
  материальной точки:
                                                                 gt 2
                   ∫ds =υ 0 ∫dt −g ∫tdt ⇒           s =υ 0 t −
                                                                  2
                                                                      +C 2 .
     Из первого начального условия находится постоянная С2:
                                        g ⋅0
                           0 =0 ⋅ t −        +C 2    ⇒    C 2 =0 .
                                         2
     Следовательно, закон движения точки определяется уравнением
                                            gt 2
                              s (t ) =υ 0 −      .
                                             2
                        3.2. Основные определения
     Дифференциальное уравнение - это равенство, связывающее между
собой переменную х, функцию y(x) и её производные или дифференциалы
различных порядков. Если искомая функция y(x) зависит только от одной
переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
     Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения первого
порядка F ( x, y , y ′) =0 . Уравнение может не содержать в явном виде х и
y, но обязательно содержит y ′ .
     Если уравнение можно записать в виде y ′ = f ( x, y ) , то получается
дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно
производной.
     Решение дифференциального уравнения - всякая функция,
удовлетворяющая этому уравнению.
     Порядок дифференциального уравнения есть наивысший порядок
производной (дифференциала), содержащейся в уравнении.
     Например, уравнение y ′′ +y =0 есть уравнение второго порядка.
     Решение или интеграл дифференциального уравнения содержит
столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Такое
решение называется общим решением.