Математика. Быкадорова Г.В. - 30 стр.

                                      30
      Первое равенство содержит производную,        а    второе   –
  дифференциал, поэтому такие равенства называют дифференциальными
  уравнениями. В отличие от алгебраических уравнений, корнями
  которых являются числа, решением дифференциальных уравнений
  являются функции, которые при подстановке их в исходное уравнение
  обращают его в тождество.
      При интегрировании данного дифференциального уравнения
  получается
                       ∫dy =∫2 xdx +C или y =x +C ,
                                               2


  где С – произвольная постоянная.
      При любом С дифференциал d (x 2 +C ) =2 xdx , т.е. получается
  тождество. В общем случае решением исходного дифференциального
  уравнения является не одна, а бесчисленное множество функций,
  называемых семейством функций или интегральными кривыми.
      В данном случае получено семейство параболических функций,
  графики которых при различных С приведены на рис. 3.1.
                                           7

                                           6

                                           5

                                           4
                  y(x)




                                           3

                                           2

                                           1


                         2        1             0   1       2
                                               x


                             Рис. 3.1. Семейство парабол.

      Но необходимо выбрать только одну параболу, которая проходит
  через точку с координатами (0;0). Из этого начального условия y(0)=0
  находится значение постоянной С: 0 +C =0 ⇒ C=0.
                                        2

       Следовательно, решением поставленного дифференциального
  уравнения является параболическая функция y ( x) =x . Это решение
                                                       2


  называется частным решением.
Пример 3.2. Найти закон движения s(t) материальной точки с массой m,
  брошенной вертикально вверх с начальной скоростью υ0.
  Сопротивлением воздуха пренебречь.
     Решение. Пусть положительное направление оси 0s направлено
  вверх и совпадает с траекторией движения, а начальное положение
  точки совпадает с началом оси 0s.
     На точку действует сила тяжести mg (g – ускорение силы тяжести).
  Движение точки происходит с ускорением a, которое есть вторая
  производная s ′′ . По второму закону Ньютона