Математика. Быкадорова Г.В. - 32 стр.

                                              32
    Решение, которое получается из общего        при     определенных
численных значениях произвольных постоянных, называется частным
решением.
    Задача нахождения частного решения уравнения, удовлетворяющего
начальному условию y = y 0 при x =x0 называется задачей Коши.
                                            Задания
3.1. Определить уравнение кривой, проходящей через точку (-1;1), если
     угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен
     квадрату ординаты точки касания.
3.2. В следующих дифференциальных уравнениях найти общий интеграл,
     построить несколько интегральных кривых и найти частный интеграл
     по начальным условиям при х=2, y=4.
   3.2.1. y ′ = y .     3.2.2. xy ′ −y =0 . 3.2.3. xy ′ + y =0 .
   3.2.4 yy ′ +x =0 .   3.3.5. y ′ =2 x .   3.2.6. y ′ =3e −1 .
                                                            x


   3.2.7. y ′y =x −2 x +x .
              2     3 2


    3.3. Дифференциальные уравнения первого порядка и первой степени
     Степенью дифференциального уравнения первого порядка называется
степень содержащейся в нем производной.
     В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка
первой степени записывается в виде
                             P ( x, y )dy +Q ( x, y ) dx =0 ,
где Р(x,y), Q(x,y) – функции от двух переменных.
                              (         )
Например: (x 2 −y 2 )dy + 1 + x −y dx =0 .
              3.4. Дифференциальные уравнения первого порядка
                        с разделяющимися переменными
    Если Р(x,y) есть функция одной переменной y: P=f(y), а Q(x,y) –
функция одной переменной х: Q=g(x), то уравнение вида f ( y ) dy +g ( x )dx =0
называется уравнением с разделяющимися переменными.
   Общий интеграл записывается в виде ∫f ( y )dy +∫g ( x ) dx =C .
Пример 3.3. Решить уравнение ydy −x dx =0 .
                                   2

  Решение. Переменные уже разделены и путем интегрирования
                                            y 2 x3
получается:    ∫ydy −∫x       dx =C ⇒          − =C .
                          2

                                            2   3
   Это интеграл данного уравнения. Решив полученное соотношение
                                                          2x3
   относительно y, получается общее решение y =± C +          .
                                                           3
    Методом разделения переменных решаются дифференциальные
уравнения первого порядка, коэффициенты Р и Q которых разлагаются на
множители, зависящие только от х или только от y.