Математика. Быкадорова Г.В. - 33 стр.

                                          33

                                        Задания
3.3. Методом разделения переменных найти общие интегралы уравнений.
   3.3.1. x 2 y ′ +y =0 .       3.3.2. x +xy + y ′( y +xy ) =0 .
   3.3.3. ϕ 2 dr +(r −3)dϕ =0 . 3.3.4. 2st 2 ds =(1 +t 2 )dt .
                  y −1                         1 −2 x
   3.3.5. y ′ =        .          3.3.6. yy ′ =       .     3.3.7. y ′y 2 +2 x =1 .
                   x                              y
3.4. Найти общий и частный интегралы по начальным условиям.
   3.4.1. 2 y ′ x = y , y=1 при х=4.
   3.4.2. y ′ =(2 y +1)ctgx , y=0,5 при х=π/4.
   3.4.3. x 2 y ′ +y 2 =0 , y=1 при х=-1.
3.5. Решить уравнения.
   3.5.1. y ′x 2 =2 y .    3.5.2. (x 2 +x )y ′ =2 y +1 . 3.5.3. y ′ a 2 +x 2 = y .
             (        )
   3.5.4. y ′ 1 +x = y . 3.5.5. y ′ =2 y ln x , y=1 при х=е.
                     2


   3.5.6. (1 +x 2 )y ′ +y 1 +x 2 =xy , y=1 при х=0.
   3.5.7. dr +rtgϕ =0 , r=2 при ϕ =π .
                          4. Последовательности и пределы
                   4.1.     Предел числовой последовательности

      Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие
число a n = f (n) , то полученный пронумерованный ряд чисел называют
числовой последовательностью: a1, a2, a3,…, ai,…, an-1, an, или {an}.
Пример 4.1. Формула a n =2n −1 числам натурального ряда n = 1, 2, 3, …
   ставит в соответствие последовательность нечетных чисел 1, 3, 5, … .

      Приведенная в примере 4.1 последовательность является
возрастающей, причем неограниченно возрастающей, т.к. каждый ее
последующий элемент больше предыдущего. Если каждый последующий
элемент меньше предыдущего, то такая последовательность называется
убывающей.
      Особый интерес представляют ограниченные последовательности, у
которых элементы хотя и возрастают (убывают), но остаются меньше
(больше) некоторого числа. Такие последовательности имеют пределы
элементов при возрастании их номера.
Определение. Число А называется пределом последовательности {an},
если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε (эпсилон)
можно указать такой номер N, что при всяком n≥N абсолютная величина
разности a n −A <ε .
      Математически данное определение можно записать в виде:
               lim a n = A , или a n → A , или a n −A <ε при n≥N.
               n→ ∞