Математика. Быкадорова Г.В. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

36
4.5.5.
+
−
∞→
x
x
x
x
1
2
2
2
1
5
lim . 4.5.6.
1
4
2
235
lim
2
2
+
+
+−
∞→
x
x
xx
x
. 4.5.7.
5
3
5
3810
lim
34
24
+
+
+−
∞→
x
x
xx
x
.
4.6. Найти пределы , используя первый замечательный предел
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
:
4.6.1.
x
x
x
3sin
lim
0→
.
Решение . 3
3
3sin3
lim
3sin
lim
00
==
→→
x
x
x
x
xx
.
4.6.2.
x
x
x
5sin
lim
0→
. 4.6.3.
x
tgx
x 0
lim
→
. 4.6.4.
x
x
x
3
sin
5sin
lim
0→
. 4.6.5.
x
x
x
5
cos
5sin
lim
0→
.
4.7. Доказать свойства первого замечательного предела.
4.7.1.
b
a
bx
ax
x
=
→
sin
lim
0
. 4.7.2.
b
a
bx
tgax
x
=
→0
lim . 4.7.3.
b
a
bx
ax
x
=
→
sin
sin
lim
0
.
4.8. Найти пределы , используя второй замечательный предел:
()
ex
x
x
=+
→
1
0
1lim
или
e
x
x
x
=
+
∞→
1
1lim
или
e
x
x
x
=
+
−∞→
1
1lim
.
4.8.1.
x
x
x
+
∞→
3
1lim
.
Решение .
3
3
3
3
1
1lim
3
1lim e
x
x
x
x
x
x
=
+=
+
∞→∞→
.
4.8.2.
()
x
x
x
5
3
0
41lim +
→
.
Решение .
() ()
5
12
5
43
4
1
0
5
3
0
41lim41lim exx
x
x
x
x
=
+=+
⋅
→→
.
4.8.3.
x
x
x
2
3
5
1lim
+
∞→
. 4.8.4.
x
x
x
+
∞→
3
2
1lim . 4.8.5.
x
x
x
5
1
1lim
+
∞→
.
4.8.6.
()
x
x
x
5
0
21lim +
→
. 4.8.7.
()
x
x
x
x
−
→
+
1
0
41lim
. 4.8.8.
3
4
1lim
+
−∞→
+
x
x
x
.
5. Ряды
5.1. Основные понятия и свойства
Теория рядов составляет основу численных методов и алгоритмов
компьютерной математики.
Пусть задана числовая последовательность a
1,
a
2,
a
3,… ,
a
i,… ,
a
n-1,
a
n,
обозначаемая {a
n
}, с элементами a
i
(n – число элементов). 
                                                                             36

               � 5x 2     1
                              �                                           5 x 2 −3 x +2                                        10 x 4 −8 x 2 +3
   4.5.5. lim�  �      +  x �
          x → ∞ 1 −x 2
                        2       � .                          4.5.6. lim 2
                                                                    x → ∞ 2 x +4 x +1
                                                                                        .                          4.5.7. lim 4
                                                                                                                          x → ∞ 5 x +3 x 3 +5
                                                                                                                                                .
                  �              �
4.6.   Найти пределы,                                   используя                     первый                     замечательный                    предел
            sin x
       lim        =1 :
       x→ 0   x
                         sin 3 x
   4.6.1. lim
          x→ 0
                                 .
                            x
                                              sin 3 x        3 sin 3 x
            Решение. lim
                     x→ 0
                                                      =lim
                                                         →
                                                                       =3 .
                                                 x     x   0    3x
                         sin 5 x                               tgx                     sin 5 x                                                   sin 5 x
   4.6.2. lim
          x→ 0
                                 .              4.6.3. limx→ 0 x
                                                                    .     4.6.4. lim
                                                                                 x → 0 sin 3 x
                                                                                               .                           4.6.5. lim
                                                                                                                                  x→ 0
                                                                                                                                                         .
                            x                                                                                                                    cos 5 x
4.7.   Доказать свойства первого замечательного предела.
                         sin ax a                                                 tgax a                                                 sin ax a
   4.7.1. lim                  = .                           4.7.2. lim               = .                          4.7.3. lim                  = .
          x→ 0             bx   b                                   x→ 0           bx  b                                  x→ 0           sin bx b
4.8.   Найти пределы, используя второй замечательный предел:
                                                                                  x                                         x
                                                                                                   �   1�
                lim(1 +x )x =e или lim�� 1 + ��
                          1
                                            1
                                                                                      =e или lim � 1 + �                        =e .
                x→ 0               x→ ∞
                                                                 �           x�              x → −∞
                                                                                                     � x�
                                     x
                 �  3�
   4.8.1. lim �   1+ � .
          x→ ∞
                �   x�
                                                                                                  3
                                                                      �                   x
                                                                                              �
                                                                      � �             �   3   �
                           �       3�
                                        x
                                                � �       1 �� �
              Решение. lim   � 1 +    �   =lim   �  � 1 +        � =e .
                                                                     3

                                               �        x�            � ��        x�
                       x→ ∞                 x→ ∞
                                                                                     �        �
                                                                      � �         3�          �
                                                                      �                       �
                                      3
   4.8.2. lim
          x→ 0
               (1 +4 x ) .           5x

                                                                                          3⋅4
                                                                                                            12
                                                    3
                                                                �       1
                                                                             �
                     (1 +4 x )                          =lim� (1 +4 x )4 x �
                                                                                           5
       Решение. lim                                5x                                             =e .       5
                x→ 0                                     x→ 0 �                �
                                     2x                                                               x                                          5x
              �     5 �                                                 �     2�                                              �     1�
   4.8.3. lim   � 1+ �                    .                  4.8.4. lim   � 1+ � .                                 4.8.5. lim   � 1+ �                .
          x→ ∞
                     �        3x �                                  x→ ∞
                                                                              �           3x �                            x→ ∞
                                                                                                                                 �          x�
                                                                                                      1−x                                        x +3
                                                                         (1 +4 x ) x .
                                 5
               (1 +2 x )x .                                                                                                     �     4�
   4.8.6. lim
          x→ 0
                                                             4.8.7. lim
                                                                    x→ 0
                                                                                                                   4.8.8. xlim    � 1+ �                  .
                                                                                                                            → −∞
                                                                                                                                     �      x�

                                                                     5. Ряды
                                         5.1.      Основные понятия и свойства
    Теория рядов составляет основу численных методов и алгоритмов
компьютерной математики.
    Пусть задана числовая последовательность a1, a2, a3,…, ai,…, an-1, an,
обозначаемая {an}, с элементами ai (n – число элементов).

Страницы