Математика. Быкадорова Г.В. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

38
б) если
nn
u υ ≥
и ряд (2) расходится,
то расходится и ряд (1).
Ряд с чередующимися знаками ...
4321
+
−
+
−
uuuu сходится, если
...
321
uuu
>
>
и
0lim
=
∞→
n
n
u
.
Абсолютная сходимость: ряд
......
321
+++++
n
uuuu
(3)
сходится, если сходится ряд
......
321
+++++
n
uuuu
. (4)
В этом случае ряд (3) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (3)
сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (3) называется условно
( неабсолютно ) сходящимся.
Задания
5.1. Найти сумму ряда:
5.1.1.
()
...
12)12(
1
...
75
1
53
1
31
1
+
+⋅−
+
⋅
+
⋅
+
⋅ nn
.
5.1.2.
()
...
13)1(
1
...
107
1
74
1
41
1
+
+⋅+
+
⋅
+
⋅
+
⋅ nn
.
5.2. Выполняется ли необходимое условие сходимости ряда:
5.2.1. ....
8
7
6
5
4
3
2
1
++++
Решение . Элементы ряда зависят от номера n как
n
n
2
12
−
. Проверим ,
выполняется ли необходимое условие сходимости ряда:
1
2
1
1lim
2
12
limlim =
−=
−
=
∞→∞→∞→
nn
n
a
nn
n
n
.
Необходимое условие сходимости ряда не выполняется.
5.2.2.
....
7
1
5
1
3
1
1
1
++++
. 5.2.3.
....
81
8
27
6
9
4
3
2
++++
.
5.3. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:
5.3.1. ....
9
1
7
1
5
1
3
1
1 +++++ .
Решение . Элементы ряда зависят от номера n как
1
2
1
)(
−
=
n
nf
.
Функция
)( nf
- убывающая, т.к . отношение последующего элемента
к предыдущему меньше 1:
1
12
2
1
12
212
12
1112
12
1
:
1)1(2
1
<
+
−=
+
−
+
=
+
−
+
−
=
−−+ nn
n
n
n
nn
.
Вычислим интеграл
()
∫∫
∞
∞
∞
∞=−∞===
−
1
1
1
0
2
1
ln
2
1
2
1
12
1
y
y
dy
dx
x
.
При вычислении интеграла была сделана замена 2х-1=y.
Так как значение интеграла равно
∞
, то по интегральному признаку
ряд расходится. 
                                                 38
б) если u n ≥υ n и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).
Ряд с чередующимися знаками              u1 −u 2 +u 3 −u 4 +... сходится, если
u1 >u 2 >u 3 ... и lim u n =0 .
                   n→ ∞

Абсолютная сходимость: ряд
                  u1 +u 2 +u 3 +... +u n +...                      (3)
сходится, если сходится ряд
                  u1 + u 2 + u 3 +... +u n +... .                  (4)
В этом случае ряд (3) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (3)
сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (3) называется условно
(неабсолютно) сходящимся.

                                             Задания
5.1.   Найти сумму ряда:
           1     1     1                  1
   5.1.1.      +     +     ... +                     +... .
          1⋅3 3 ⋅5 5 ⋅ 7          (2n −1) ⋅ (2n +1)
           1     1      1                 1
   5.1.2.      +     +       ... +                  +... .
          1 ⋅ 4 4 ⋅ 7 7 ⋅10        (n +1) ⋅ (3n +1)
5.2.   Выполняется ли необходимое условие сходимости ряда:
            1 3 5 7
   5.2.1.    + + + +....
            2 4 6 8
                                                                          2n −1
       Решение. Элементы ряда зависят от номера n как                           . Проверим,
                                                                           2n
       выполняется ли необходимое условие сходимости ряда:
                                                2n −1      �   1 �
                                lim a n =lim          =lim� 1 − � =1 .
                                n→ ∞       n → ∞ 2n    n→ ∞
                                                             � 2n �
       Необходимое условие сходимости ряда не выполняется.
            1 1 1 1                                       2 4 6  8
   5.2.2.    + + + +.... .                     5.2.3.      + + + +.... .
            1 3 5 7                                       3 9 27 81
5.3. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:
               1   1   1    1
   5.3.1. 1 + + + + +.... .
               3   5   7    9
                                                                                          1
       Решение. Элементы ряда зависят от номера n как f ( n) =                                .
                                                                                        2n −1
       Функция f (n) - убывающая, т.к. отношение последующего элемента
       к предыдущему меньше 1:
                  1        1     2n −1 +1 −1 2n +1 −2       2
                        :      =            =         =1 −      <1 .
             2( n +1) −1 2n −1      2n +1     2n +1       2n +1
                                   ∞                  ∞          ∞
                              1       1 dy 1                             1
       Вычислим интеграл ∫        dx = ∫ = ln y                      =     (∞ −0) =∞.
                         1
                           2 x −1     21 y 2                     1       2
       При вычислении интеграла была сделана замена 2х-1=y.
       Так как значение интеграла равно ∞, то по интегральному признаку
       ряд расходится.

Страницы