Математика. Быкадорова Г.В. - 37 стр.

                                               37
     Образуем новую числовую последовательность        частичных
сумм {Sn} первых n элементов исходной последовательности:
S n =a1 +a 2 +a3 +... +ai +... +a n −1 +a n .
{Sn} называется числовым рядом, а сам ряд обозначается
                                                                            ∞

                      a1 +a 2 +a3 +... +ai +... +...         или            ∑a
                                                                            n =1
                                                                                   n   .
    Если последовательность {Sn} сходится к числу S, то ряд называется
сходящимся, а число S называется его суммой и записывается в виде
                                                              ∞
                                 lim S n =S
                                 n→ ∞
                                                    или      ∑a
                                                             n =1
                                                                    n   .
    Если последовательность {Sn} расходится, то ряд называется
расходящимся.
                                         1    1               1
Пример 5.1. Найти сумму ряда                +     +... +            +... .
                                        1⋅ 2 2 ⋅3        n ⋅ (n +1)
       Решение. Найдем сумму n первых членов, представив каждое
       слагаемое в виде разности дробей:
                   � 1 1 � � 1 1� � 1 1 �             � 1     1� � 1    1 �
             S n =� − � +� − � +� − � +... +�                − � +� −        � =
                    � 1 2� � 2 3� � 3 4 �              � n −1 n � � n n +1 �
                 1 1 1 1 1 1 1                     1     1 1     1         1
              = − + − + − + +... +                    − + −         =1 −       .
                 1 2 2 3 3 4 4                   n −1 n n n +1           n −1
       Находим предел lim S n =lim�� 1 −
                                           1 �
                                                � =1 .
                          n→ ∞  n→ ∞
                                    �    n +1 �
                           5.2. Признаки сходимости
    Для сходимости ряда необходимо (но не достаточно!), чтобы элемент
ряда a n → 0 при n → ∞ .
    Существует ряд признаков сходимости рядов. Рассмотрим некоторые
из них.
Интегральный признак сходимости ряда с положительными убывающими
элементами.
    Если элементы ряда a n = f (n) , где f (n ) - убывающая функция, то
                             ∞
                                             � A, ряд сходится ,
                             ∫f ( x)dx =��
                             1
                                               ∞, ряд расходится .
Признак Даламбера сходимости ряда с положительными                                         элементами.
Если
                              � <1, то ряд сходится,
                   a n+1       �
               lim       =r =� >1, то ряд расходится,
               n→ ∞ a
                      n          � =1, вопрос остается нерешенным.
                                  �
Сравнение рядов с положительными членами:
              u1 +u 2 +u 3 +... +u n +...                                                          (1)
             υ1 +υ 2 +υ 3 +... +υ n +...                                                           (2)
а) если u n ≤υ n и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).