Математика. Быкадорова Г.В. - 57 стр.

                                             57
        Решение такой              задачи можно              изобразить           с    помощью
    дерева возможностей.
                                                  *


        1-я цифра        1                        2                       3



        2-я цифра    2        3               1       3               1       2



        3-я цифра    3        2               3       1              2        1

Получены следующие перестановки-числа: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Пример 7.6. Сколько имеется вариантов занятия трех призовых мест 8
   спортсменами одного уровня?
   Решение. Любой из восьми может занять первое место – это 8
   возможностей, далее любой из оставшихся семи может занять второе
   место – 7 возможностей, и любой из оставшихся шести может занять
   третье место – 6 возможностей: 8·7·6=336 вариантов.
       Это задача о числе размещений из n элементов по k, которое
                                                                                 n!
    определяется формулой Ank =n(n −1)(n −2)⋅... ⋅ (n −k +1) =                         . В этом
                                                                              (n −k )!
    случае речь идет об упорядоченных (различимых) элементах.
        В условиях данной задачи
                                8!    8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
                     A83 =           =                             =8 ⋅ 7 ⋅ 6 =336 .
                             (8 −3)!       5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
Пример 7.7. В футбольном турнире участвуют 6 команд. Каждая команда
   должна сыграть с каждой одну игру. Сколько игр сыграно в турнире?
   Решение. Число возможных вариантов выбора первой команды из
   двух 6, число возможных вариантов выбора второй команды - 5, итого
   игр 6·5=30. Но здесь учтены варианты с порядком (вариант команд А и
   В и вариант команд В и А одно и то же). Поэтому перестановки внутри
   выборки надо исключить. Перестановок внутри выборки 2!=2,
   следовательно, игр будет в 2 раза меньше: 30:2=15 игр.
        В случае неупорядоченных наборов выборки из n элементов по k
   называются сочетаниями n элементов по k и вычисляются по
   формуле
                                           Ank    n!
                                       C =
                                         k
                                               =         .
                                           Pk k!(n −k )!
                                         n


                                                      6!      6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 6 ⋅ 5
        В условиях данной задачи C nk =                     =                     =      =15 игр.
                                                  2!(6 −2 )! 2 ⋅1 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1    2
                                       Задания
7.3. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг
     из трех цветов: красный, синий, зеленый?