Математика. Быкадорова Г.В. - 59 стр.

                                        59
    2. Р(∅)=0, так как нет никаких исходов.
    3. 0 ≤P(A) ≤1 .
    4. P (A) =1 −P(A) .
    Последнее свойство очень важно, так как позволяет вычислить
вероятность события А, если известна вероятность противоположного
события A .
                    7.4. Формула сложения вероятностей
     Для любых событий А и В верна формула сложения вероятностей:
                          P(A +B ) =P(A) +P(B ) −P(A ⋅ B ) .
     Эта формула легко доказывается на основе диаграмм Эйлера-Венна
(рис.7.2,7.3), интерпретируя вероятности событий как площади
соответствующих им изображений.
     Если события несовместны, т.е. не могут происходить одновременно,
то (A +B ) =P (A) +P(B ).
   P
Пример 7.8. В марте 7 дней шел снег, 10 – дождь, из них 4 дня – снег с
     дождем. Найти вероятность того, что в наугад выбранный день шел
     снег или дождь.
     Решение. Пусть А={шел снег}, В={шел дождь}, Р(АВ)={шел снег с
     дождем}. Всего дней в марте 31, следовательно,
                                 7           10          4
                      P (A ) =      , P(B ) = , P(AB ) =    .
                                 31          31          31
    Тогда вероятность Р(шел дождь или снег) по формуле сложения
                                     7 10 4 13
    вероятностей есть: P(A +B ) =      + − = .
                                     31 31 31 31
        7.5. Условные вероятности. Формула умножения вероятностей
    Часто рассматривается вопрос об определении вероятности какого-
либо события А при условии, что уже произошло другое событие В:
Р(А/В).
Определение. Условная вероятность Р(А/В) события А при условии, что
                                                                 P (A ⋅ B )
произошло событие В с Р(В)>0, вычисляется по формуле P(A B ) =              .
                                                                  P(B )
    Формально это можно объяснить следующим образом: так как
событие В произошло, то в качестве нового пространства элементарных
исходов   служат     все     исходы,      которые       принадлежат В, а
благоприятствующими наступлению события А считаются исходы,
входящие в А и В одновременно (рис.7.3).
    Из определения следует формула умножения вероятностей:
                      P(A ⋅ B ) =P(A)⋅ P(B A) =P(B )⋅ P(A B ) .
Пример 7.9. Какова вероятность того, что из колоды из 36 карт наугад
        будут выбраны два туза?
                                                                     4 1
    Решение. Вероятность Р(А) того, что первая карта – туз, равна     = .
                                                                    36 9
     После этого в колоде остались 3 туза и всего 35 карт. Следовательно,