Теория вероятностей и математическая статистика. Чайковская И.Н - 12 стр.

                                              х    t2
                                         1
                              Ф ( x) =
                                         2π   ∫е
                                              0
                                                   2
                                                        dt

     по формуле
                                        ⎛β −а⎞    ⎛α − а ⎞
                       Р(α ≤ Х ≤ β ) = Ф⎜    ⎟ − Ф⎜      ⎟
                                        ⎝ σ ⎠     ⎝ σ ⎠
     и равна
                                       ⎛ 20 ,3 − 20 ⎞       ⎛ 19 ,7 − 20 ⎞
        Р (19 ,7 ≤ Х ≤ 20 ,3) = Ф ⎜                  ⎟ − Ф⎜              ⎟=
                                       ⎝ 0, 45 ⎠            ⎝ 0 , 45 ⎠
        = Ф ( 0 ,67 ) − Ф ( − 0 ,67 ) = 2Ф ( 0 ,67 ) = 0 , 4980 .

      При этом значение функции Лапласа определяются по прил. 1.
      Аналогично рассматривается вероятность превышения длины
20,3 см.
                                                   ⎛ ∞ − 20 ⎞     ⎛            ⎞
         Р ( Х > 20 ,3) = Р ( 20 ,3 ≤ Х < ∞ ) = Ф ⎜⎜        ⎟ − Ф ⎜ 19 ,7 − 20 ⎟ =
                                                            ⎟     ⎜      0, 2 ⎟⎠
                                                   ⎝ 0, 2 ⎠       ⎝
         = Ф ( ∞ ) − Ф (0,67 ) = 0,5 − 0, 249 = 0,251 .

       Пример 12. Продолжительность текущего ремонта автомобилей
есть случайная величина Т с функцией распределения
F(t) = 1− e0,17⋅t (t ≥ 0). Найти функцию плотности вероятности, математи-
ческое ожидание, дисперсию и вероятность того, что ремонт автомо-
биля продлится от 5 до 10 дней.

     Решение. Для показательного закона распределения плотность
вероятности f (t) = F′(t) = (1− e−λt )′ = λe−λt ; (t ≥ 0).
     Следовательно, плотность вероятностей случайной величины Т –
продолжительности текущего ремонта автомобиля – при заданном па-
раметре λ = 0,17 имеет вид f (t ) = 0,17e−0,17⋅t .
     Числовые характеристики показательного распределения вычис-
                                 1                 1       1
ляются по формулам М (t ) = , D (t ) = 2 , σ (t ) = .
                                λ                 λ        λ




                                         12