Теория вероятностей и математическая статистика. Чайковская И.Н - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

14
Замечание: Числовые характеристики равномерного распреде-
ления проще рассчитать, используя готовые формулы
2
)(
bа
хМ
+
=
,
12
)(
)(
2
ab
xD
−
=
, т. е.
25,0
2
5,00
)( =
+
=хМ
,
021,0
12
)05,0(
)(
2
=
−
=xD
,
14,0)(
=
х
σ
.
Пример 14. Функция распределения случайной величины имеет вид
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
.3,1
;30,
3
;0,0
)(
х
х
х
х
xf
Требуется найти плотность распределения, математическое
ожидание, дисперсию и вероятность попадания случайной величины в
интервал (2; 4).
Решение. Найдем функцию плотности вероятностей по опреде-
лению
)()( xFxf
′
=
. Для этого продифференцируем функцию F(х), т. е.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
.3,0
;30,
3
1
;0,0
)(
х
х
х
xf
Числовые характеристики вычисляем по формулам
∫
∞
∞−
⋅= dxxfххМ )()(
;
∫
∞
∞−
⋅−= dxxfxMxxD )())(()(
2
.
Иногда для определения дисперсии удобно использовать формулу
.))(()()(
22
xMdxxfxxD −⋅=
∫
∞
∞−
Так как f(x) задана на разных интервалах различными аналити-
ческими выражениями, то несобственный интеграл при нахождении
математического ожидания и дисперсии будет представлен в виде
суммы интегралов
.
2
3
2
9
3
1
23
1
3
1
0
3
1
0)(
3
0
2
3
03
3
0
0
=⋅=⋅=⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
∫∫∫∫
∞
∞−
x
dxxdxxdxхdxххМ
     Замечание: Числовые характеристики равномерного распреде-
ления проще рассчитать, используя готовые формулы
             а+b            (b − a ) 2
     М (х) =     , D ( x) =            , т. е.
              2                12
               0 + 0,5                 (0,5 − 0) 2
     М (х) =           = 0,25, D( x) =             = 0,021 , σ ( х) = 0,14 .
                  2                        12

     Пример 14. Функция распределения случайной величины имеет вид
                                           ⎧ 0 , х ≤ 0;
                                           ⎪х
                                           ⎪
                                 f ( x ) = ⎨ , 0 < х ≤ 3;
                                           ⎪3
                                           ⎩⎪1, х > 3 .
     Требуется найти плотность распределения, математическое
ожидание, дисперсию и вероятность попадания случайной величины в
интервал (2; 4).

    Решение. Найдем функцию плотности вероятностей по опреде-
лению f (x) = F′(x) . Для этого продифференцируем функцию F(х), т. е.
                                               ⎧0, х ≤ 0;
                                               ⎪1
                                               ⎪
                                      f ( x) = ⎨ ,0 < х ≤ 3;
                                               ⎪3
                                               ⎪⎩0, х > 3.
     Числовые характеристики вычисляем по формулам
                        ∞                                ∞
               М (х) = ∫ х ⋅ f (x)dx; D( x) = ∫ ( x − M ( x))2 ⋅ f ( x)dx .
                        −∞                              −∞
     Иногда для определения дисперсии удобно использовать формулу
                                      ∞
                            D( x) =    ∫x       ⋅ f ( x ) dx − ( M ( x )) 2 .
                                            2

                                      −∞
     Так как f(x) задана на разных интервалах различными аналити-
ческими выражениями, то несобственный интеграл при нахождении
математического ожидания и дисперсии будет представлен в виде
суммы интегралов
               0             3              ∞                   3
                                  1                     1          1 x2         3  1 9 3
     М ( х) = ∫ х ⋅ 0 ⋅ dx + ∫ х ⋅ ⋅ dx + ∫ x ⋅ 0 ⋅ dx = ∫ x ⋅ dx = ⋅             = ⋅ = .
              −∞             0
                                  3       3
                                                        30         3 2          0  3 2 2

                                                   14

Страницы