Теория вероятностей и математическая статистика. Чайковская И.Н - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

13
Поэтому математическое ожидание
88,5
17,0
1
)( ==tМ
, дисперсия
6,34
17,0
1
)(
2
==tD
и
88,56,34)( ==t
σ
.
Найдем вероятность того, что ремонт автомобиля продлится от 5
до 10 дней. Она равна:
.24,01827,04274,0
)1()1()5()10()105(
7,185,0
517,01017,0
≈−=−=
−−−=−=≤≤
−−
⋅−⋅−
ее
еeFFТР
Пример 13. Цена деления шкалы измерительного прибора равна
1. Показания округляются до ближайшего деления шкалы. Найти
функцию плотности вероятностей ошибки округления, ее математиче-
ское ожидание и дисперсию.
Решение. Ошибка округления принимает значения из интервала
[0; 0,5] и является случайной величиной, распределенной равномерно,
т. к. все возможные значения внутри промежутка имеют равную веро-
ятность. Функция
плотности равномерного закона имеет вид
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
><
≤≤=
−=
.5,0;0,0
;5,00,2
05,0
1
)(
хх
х
xf
Найдем числовые характеристики:
математическое ожидание
∫∫∫∫∫
∞
∞−∞−
∞
==++==
0
5,0
05,0
5,0
0
;25,02020)()( xdxdxxdxxxdxdxxхfхМ
дисперсия
;021,00625,05,0
3
2
0625,0
3
2
0625,02
25,0020)]([)()(
3
5,0
0
5,0
0
32
0
5,0
05,0
222222
=−=−⋅=−=
=−++=−=
∫
∫∫∫∫
∞−
∞∞
∞−
xdxx
dxxdxxdxxxMdxxfxхD
и среднее квадратическое отклонение
14,0021,0)()( === XDх
σ
                                                                              1
      Поэтому математическое ожидание М (t ) =                                   = 5,88 , дисперсия
                                                                            0,17
         1
D(t ) =       = 34,6 и σ (t ) = 34,6 = 5,88.
       0,172
     Найдем вероятность того, что ремонт автомобиля продлится от 5
до 10 дней. Она равна:
             Р(5 ≤ Т ≤ 10) = F (10) − F (5) = (1 − e−0,17⋅10 ) − (1 − е−0,17⋅5 )
              = е−0,85 − е−1,7 = 0,4274− 0,1827 ≈ 0,24.

     Пример 13. Цена деления шкалы измерительного прибора равна
1. Показания округляются до ближайшего деления шкалы. Найти
функцию плотности вероятностей ошибки округления, ее математиче-
ское ожидание и дисперсию.

       Решение. Ошибка округления принимает значения из интервала
[0; 0,5] и является случайной величиной, распределенной равномерно,
т. к. все возможные значения внутри промежутка имеют равную веро-
ятность. Функция плотности равномерного закона имеет вид
                                ⎧ 1
                                ⎪         = 2,0 ≤ х ≤ 0,5;
                       f ( x) = ⎨ 0,5 − 0
                                ⎪0, х < 0; х > 0,5.
                                ⎩
       Найдем числовые характеристики:
           ƒ математическое ожидание
                         ∞          0             0, 5         ∞             0, 5
            М ( х) = ∫ хf ( x)dx = ∫ 0xdx + ∫ x2dx + ∫ x0dx = 2 ∫ xdx = 0,25;
                         −∞         −∞             0           0, 5           0

            ƒ дисперсия
                    ∞                                    0            0,5           ∞
          D( х) =   ∫ x f ( x)dx − [M ( x)] =            ∫ x 0dx +    ∫ x 2dx +     ∫x         0dx − 0,252 =
                       2                   2                2            2                 2

                    −∞                                 −∞             0             0, 5
             0,5
                                    2 3                    2
          = 2 ∫ x 2 dx − 0,0625 =     ⋅x   0, 5
                                           0      −0,0625 = 0,53 − 0,0625 = 0,021;
              0
                                    3                      3
            ƒ и среднее квадратическое отклонение
                         σ ( х) = D( X ) = 0,021 = 0,14



                                                   13

Страницы