Теория вероятностей и математическая статистика. Чайковская И.Н - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

6
При нахождении вероятностей сложных событий следует поль-
зоваться теоремами сложения, умножения и следствиями из них ([1]
гл. 2-4; [2] гл. 2).
Пример 3. Два стрелка делают по одному выстрелу. Вероятность
поражения мишени первым стрелком равна 0,8, а вторым – 0,7. Найти
вероятности попадания в мишень обоими стрелками и поражения ми-
шени хотя бы одним стрелком.
Решение. Пусть событие А – попадание в мишень первым стрел-
ком, В – вторым. Тогда событие С, заключающееся в одновременном
поражении мишени
обоими стрелками, является произведением собы-
тий А и В (C=A·B). Эти события происходят независимо друг от друга.
Поэтому вероятность их произведения определяется по формуле
P(A·B)=P(A)·P(B) и равна P(C)=P(A·B)=0,7·0,8=0,56.
Рассмотрим теперь событие D – поражение цели хотя бы одним
стрелком. Оно заключается в поражении мишени либо первым, либо
вторым, либо обоими вместе. Это
событие является суммой исходных
событий, т. е. D=A+B. События А и В являются совместными, т. к. мо-
гут происходить в одном и том же испытании. Поэтому следует вос-
пользоваться формулой P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B).
Получим P(D)=P(A+B)=0,7+0,8–0,7·0,8=0,94.
Пример 4. Пластмассовые заготовки для деталей поступают с
пресса №1, выпускающего 50% всей продукции, с пресса №2, выпус-
кающего 30%, и с пресса №3, дающего 20%. При этом доля нестан-
дартной продукции у первого пресса 0,10, у второго – 0,05, а у третье-
го – 0,02. Наудачу взятая заготовка оказалась стандартной. Опреде-
лить вероятность того, что она поступила с первого
пресса.
Решение. Событие А – взятая заготовка стандартная. Она могла
быть изготовлена прессом №1 (гипотеза H
1
), прессом №2 (гипотеза
H
2
) или прессом №3 –
H
1
. Вероятности этих гипотез соответственно
равны P(H
1
)=0,5; P(H
2
)=0,3;
P(H
3
)=0,2. Событие А может произойти с
событием H
1
с условной вероятностью
9,01,01)(
1
=
−
=
АР
Н
. Аналогично
имеем условные вероятности:
;95,005,01)(
2
=
−=АР
Н
      При нахождении вероятностей сложных событий следует поль-
зоваться теоремами сложения, умножения и следствиями из них ([1]
гл. 2-4; [2] гл. 2).

     Пример 3. Два стрелка делают по одному выстрелу. Вероятность
поражения мишени первым стрелком равна 0,8, а вторым – 0,7. Найти
вероятности попадания в мишень обоими стрелками и поражения ми-
шени хотя бы одним стрелком.

     Решение. Пусть событие А – попадание в мишень первым стрел-
ком, В – вторым. Тогда событие С, заключающееся в одновременном
поражении мишени обоими стрелками, является произведением собы-
тий А и В (C=A·B). Эти события происходят независимо друг от друга.
Поэтому вероятность их произведения определяется по формуле
P(A·B)=P(A)·P(B) и равна P(C)=P(A·B)=0,7·0,8=0,56.
     Рассмотрим теперь событие D – поражение цели хотя бы одним
стрелком. Оно заключается в поражении мишени либо первым, либо
вторым, либо обоими вместе. Это событие является суммой исходных
событий, т. е. D=A+B. События А и В являются совместными, т. к. мо-
гут происходить в одном и том же испытании. Поэтому следует вос-
пользоваться формулой P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B).
     Получим P(D)=P(A+B)=0,7+0,8–0,7·0,8=0,94.

     Пример 4. Пластмассовые заготовки для деталей поступают с
пресса №1, выпускающего 50% всей продукции, с пресса №2, выпус-
кающего 30%, и с пресса №3, дающего 20%. При этом доля нестан-
дартной продукции у первого пресса 0,10, у второго – 0,05, а у третье-
го – 0,02. Наудачу взятая заготовка оказалась стандартной. Опреде-
лить вероятность того, что она поступила с первого пресса.

     Решение. Событие А – взятая заготовка стандартная. Она могла
быть изготовлена прессом №1 (гипотеза H1), прессом №2 (гипотеза
H2) или прессом №3 – H1. Вероятности этих гипотез соответственно
равны P(H1)=0,5; P(H2)=0,3; P(H3)=0,2. Событие А может произойти с
событием H1 с условной вероятностью РН1 ( А) = 1 − 0,1 = 0,9 . Аналогично
имеем условные вероятности:
     РН2 ( А) = 1 − 0,05 = 0,95;

                                   6

Страницы