Теория вероятностей и математическая статистика. Чайковская И.Н - 8 стр.

UptoLike

8
Решение. Число независимых испытаний n=900 – велико, а веро-
ятность появления иномарки
10
1
=р
не близка к нулю. В этих условиях
используют приближенные формулы Муавра-Лапласа. Так как нас
интересует вероятность появления события не более 90 раз, то приме-
ним интегральную формулу
)()(),(
1221
хФхФkkР
, получим
P
900
(не более 90) = P
900
(0,90) =
)()()900(
12900
хФхФkР
, где
30
3
90
10
9
10
1
100
10
1
9000
1
1
=
=
=
=
npq
npk
х
,
0
3
0
10
9
10
1
100
10
1
90090
2
2
==
=
=
npq
npk
х
.
По прил. 1 определим значения функции Лапласа
5,0)30()30(,0)0(
=
== ФФФ
(функция Лапласа нечетная
)()( хФхФ =
и при 5>х
5,0)(
=
хФ
).
Итак, P
900
(не более 90) = 0+0,5=0,5.
Пример 7. Учебник издан тиражом 10 000 экземпляров. Вероят-
ность его неправильной брошюровки равна 0,0001. Найти вероятность
того, что тираж содержит две бракованные книги.
Решение. Так как число испытаний n=10 000 – великó, а вероят-
ность р=0,0001 близка к нулю, то используем формулу Пуассона. Для
этого определим параметр
1
=
=
np
λ
и вычислим
18,0
2
1
!2
1
!
)2(
12
10000
===
е
е
k
е
Р
k
λ
λ
.
Закон распределения дискретных случайных величин, их число-
вые характеристики рассмотрены в гл. 6-8 [1], гл. 4 [2], гл. 11 [3].
При составлении закона распределения случайной величины для
нахождения вероятностей возможных значений можно использовать
основные теоремы и формулы теории вероятностей.
      Решение. Число независимых испытаний n=900 – велико, а веро-
                                      1
ятность появления иномарки р = не близка к нулю. В этих условиях
                                     10
используют приближенные формулы Муавра-Лапласа. Так как нас
интересует вероятность появления события не более 90 раз, то приме-
ним интегральную формулу Р(k1 , k 2 ) ≈ Ф( х2 ) − Ф( х1 ) , получим
P900 (не более 90) = P900 (0,90) = Р900 (0 ≤ k ≤ 90) ≈ Ф ( х2 ) − Ф ( х1 ) , где
                                             1
                                  0 − 900 ⋅
                        k1 − np             10 = − 90 = −30 ,
                   х1 =         =
                           npq           1 9      3
                                  100 ⋅ ⋅
                                        10 10

                                                       1
                                          90 − 900 ⋅
                          k − np                      10 = 0 = 0 .
                      х2 = 2     =
                             npq                    1 9 3
                                              100 ⋅ ⋅
                                                   10 10

      По     прил.    1     определим              значения     функции    Лапласа
Ф (0) = 0, Ф ( −30) = −Ф (30) = −0,5   (функция                Лапласа    нечетная
Ф(− х) = −Ф( х) и при х > 5 Ф( х) = 0,5 ).
      Итак, P900 (не более 90) = 0+0,5=0,5.

      Пример 7. Учебник издан тиражом 10 000 экземпляров. Вероят-
ность его неправильной брошюровки равна 0,0001. Найти вероятность
того, что тираж содержит две бракованные книги.

     Решение. Так как число испытаний n=10 000 – великó, а вероят-
ность р=0,0001 близка к нулю, то используем формулу Пуассона. Для
этого определим параметр λ = np =1 и вычислим
                                    λk е −λ
                                 12 е −1 1
                     Р10000 (2) =             =
                                        = ≈ 0,18 .
                            k!     2!     2е
     Закон распределения дискретных случайных величин, их число-
вые характеристики рассмотрены в гл. 6-8 [1], гл. 4 [2], гл. 11 [3].
     При составлении закона распределения случайной величины для
нахождения вероятностей возможных значений можно использовать
основные теоремы и формулы теории вероятностей.
                                               8