Теория вероятностей и математическая статистика. Чайковская И.Н - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

7
98,002,01)(
3
=
−=АР
Н
.
Тогда полная вероятность события А, определяемая по формуле
∑
=
⋅=
3
1
)()()(
j
Hj
АРНРАР
j
,
равна P(A)=0,5·0,9+0,3 0,95+0,2·0,98=0,931.
Для нахождения вероятности P
A
(H
2
) – того, что заготовка изго-
товлена первым прессом, при условии, что она стандартная, применим
формулу Байеса:
)(
)()(
)(
AP
APHP
НР
j
Hj
jА
⋅
=
,
Получаем
48
3
,0
931,0
9,05,0
)(
1
≈
⋅
=НР
А
.
Аналогично можно найти условные вероятности гипотез H
1
и
H
3
. При этом должно выполняться условие
1)()()(
321
=
+
+
НРНРНР
ААА
.
Для решения задач на повторные испытания следует знать усло-
вия, к которым применимы формулы Бернулли, Пуассона, локальная
и интегральная теоремы Муавра-Лапласа ([1], гл. 5, 6 §5; [2], гл. 3, 4
§1).
Пример 5. Монету подбрасывают 5 раз. Найти вероятность того,
что герб выпадет ровно 2 раза.
Решение. Число повторных независимых испытаний – подбра-
сываний монеты n=5 – малó. Вероятность выпадения герба в одном
испытании
2
1
=р
, вероятность противоположного события – выпаде-
ния цифры:
2
1
1 =−= pq
. Тогда вероятность выпадения двух гербов
(k=2) следует определять по формуле Бернулли
knkk
nn
qpCkР
−
=)(
:
16
5
322
54
32
1
!2!3
!5
2
1
2
1
)2(
32
2
55
=
⋅
⋅
=⋅
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅= CР
.
Пример 6. В городе каждая десятая машина – иномарка. За час
по центральной улице проезжает 900 машин. Какова вероятность того,
что иномарки составляют среди них не более 90 машин. 
     РН3 ( А) = 1 − 0,02 = 0,98.
     Тогда полная вероятность события А, определяемая по формуле
                                    3
                          Р( А) = ∑Р(Н j ) ⋅ РH j ( А) ,
                                    j =1

равна P(A)=0,5·0,9+0,3 0,95+0,2·0,98=0,931.
     Для нахождения вероятности PA(H2) – того, что заготовка изго-
товлена первым прессом, при условии, что она стандартная, применим
формулу Байеса:
                                           P(H j ) ⋅ PH j ( A)
                           РА (Н j ) =                           ,
                                                    P( A)
                       0,5 ⋅ 0,9
     Получаем РА (Н1) =          ≈ 0,483.
                        0,931
      Аналогично можно найти условные вероятности гипотез H1 и
H3. При этом должно выполняться условие РА(Н1) + РА(Н2 ) + РА(Н3) =1.
      Для решения задач на повторные испытания следует знать усло-
вия, к которым применимы формулы Бернулли, Пуассона, локальная
и интегральная теоремы Муавра-Лапласа ([1], гл. 5, 6 §5; [2], гл. 3, 4
§1).

      Пример 5. Монету подбрасывают 5 раз. Найти вероятность того,
что герб выпадет ровно 2 раза.
      Решение. Число повторных независимых испытаний – подбра-
сываний монеты n=5 – малó. Вероятность выпадения герба в одном
               1
испытании р = , вероятность противоположного события – выпаде-
               2
                     1
ния цифры: q =1− p = . Тогда вероятность выпадения двух гербов
                     2
(k=2) следует определять по формуле Бернулли Рn (k ) = Cnk p k q n−k :
                                2           3
                           ⎛1⎞ ⎛1⎞      5! 1     4⋅5    5
              Р5 (2) = C ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ =
                      2
                      5                     ⋅ =       = .
                           ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 3!⋅2! 32 2 ⋅ 32 16

     Пример 6. В городе каждая десятая машина – иномарка. За час
по центральной улице проезжает 900 машин. Какова вероятность того,
что иномарки составляют среди них не более 90 машин.

                                                7

Страницы