Решение задач по теоретической механике. Часть 2. Кинематика. Чеботарев А.С. - 11 стр.

                                           11
   Задача 4. Движение точки задано уравнениями
                               � x =a(3 cos t +cos 3t )
                                �
                                  � y =a(3 sin t +sin 3t )
( a - постоянная величина).
 Определить радиус кривизны траектории как функцию времени в промежутке
                                      π
                                0 ≤t ≤ .
                                       2
   Решение. Определим проекции скорости точки на координатные оси:
                                υ x =x =−3a(sin t +sin 3t )

                               υ y = y =3a (cos t +cos 3t ) ,
следовательно,
                       υ 2 =18a 2 (1 +cos 2t ) =36a 2 cos 2 t ,
откуда υ =6a cos t .
Касательное ускорение
                                       dυ
                                wτ =      =−6a sin t .
                                       dt
   Найдём проекции ускорения точки на координатные оси:
                               wx =υ x =−3a(cos t +3 cos 3t )
                                w y =υ y =−3a (sin t +3 sin 3t ) ,

отсюда

                              w 2 =18a 2 (5 +3 cos 2t ) .
   Определим нормальное ускорение точки:

                              wn2 =w 2 −wτ2 =144 a 2 cos 2 t ,

откуда                          wn =12a cos t .
         Искомый радиус кривизны траектории будет

                                         υ2
                                      ρ = =3a cos t
                                         wn

         Наибольший радиус кривизны ρmax =3a .