Решение задач по теоретической механике. Часть 2. Кинематика. Чеботарев А.С. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

32
Ускорение точки
M
найдём по
формуле
22
ABAB
M
QMw ωε +⋅=
;
так как
2
b
QM = , то
22
2
2 ab
ab
w
M
−
=
ω
, а направлен этот вектор под углом
0
90=α
к отрезку QM . Для положений
π
ϕ
=
и
2
3
π
ϕ =
решение проводится
аналогично, что предлагается сделать читателю самостоятельно.
Дополнительно рассмотрим ещё один способ определения
AB
ω
и
AB
ε
для
любого положения механизма. Считая
aOA
=
,
bAB
=
, изобразим
произвольное положение механизма. Угол
определяет поворот кривошипа
вокруг
O
. Угол
ψ
- определяет вращение шатуна
AB
в плоскости xOy. Если
мы определим
)( t
ψ
ψ
=
, то
)( t
AB
ψ
ω
&
=
, а
)( t
AB
ψ
ε
&&
=
.
Очевидно, что для любого положения механизма
0cossin
=
−
ψ
ϕ
ba
(8.5)
Продифференцируем (8.5) по времени, получим
ψ
ϕ
ϕ
ψψψϕϕ
cos
cos
0coscos
b
a
ba
&
&&&
=⇒=⋅−⋅
Учитывая , что
ω
ϕ
=
&
- угловая скорость кривошипа
OA
, то для любого
положения механизма, при известных углах
и
ψ
угловая скорость звена
AB
определяется формулой
ω
ψ
ϕ
ω
cos
cos
b
a
AB
=
Продифференцируем (8.5) дважды по времени, получим
0cossincossin
=
−
+
+
−
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
&&&&&&&&
bbaa
ψ
ϕϕψψϕϕ
ψ
cos
sinsincos
22
b
aba
&&&&
&&
−+
=
Учитывая , что
0
=
=
OA
ε
ϕ
&&
,
ω
ω
ϕ
=
=
OA
&
, a
AB
ω
ψ
=
&
, то для заданных углов
ψ
&&
определяет
AB
ε
- мгновенное угловое ускорение.
Ответ : Закон движения точки
M
:
=
=
)sin(
2
1
)(
)cos(
2
3
)(
taty
tatx
ω
ω
1. Траектория точки
M
: эллипс
1
)
2
1
()
2
3
(
2
2
2
2
=+
a
y
a
x
2. Закон движения ползуна
B
:
=
=
0)(
)cos(2)(
ty
tatx ω
                                             32

Ускорение      точки     M     найдём     по формуле         w M =QM ⋅ ε AB
                                                                         2
                                                                            +ωAB
                                                                              2
                                                                                 ;
                                     ω2 ab
            b
так как QM = , то        wM =                  , а направлен этот вектор под углом
            2                     2 b 2 −a 2
                                                               3π
α =90 0 к отрезку QM . Для положений ϕ =π и ϕ =                    решение проводится
                                                                2
аналогично, что предлагается сделать читателю самостоятельно.
 Дополнительно рассмотрим ещё один способ определения ωAB и ε AB для
любого положения механизма. Считая OA =a , AB =b , изобразим
произвольное положение механизма. Угол ϕ определяет поворот кривошипа
вокруг O . Угол ψ - определяет вращение шатуна AB в плоскости xOy. Если
мы определим ψ =ψ (t ) , то ωAB =ψ (t ) , а ε AB =ψ(t ) .
Очевидно, что для любого положения механизма
                                     a sin ϕ −b cosψ =0                          (8.5)
Продифференцируем (8.5) по времени, получим
                                                           a cos ϕϕ
                   a cos ϕ ⋅ϕ −b cosψ ⋅ψ =0 ⇒ ψ =
                                                            b cosψ
Учитывая, что ϕ =ω - угловая скорость кривошипа OA , то для любого
положения механизма, при известных углах ϕ и ψ угловая скорость звена AB
                                 a cos ϕ
определяется формулой ωAB =               ω
                                 b cosψ
Продифференцируем (8.5) дважды по времени, получим
                −aϕ sin ϕ +a cos ϕϕ +bψ sin ψ ψ −b cosψ ψ =0
                            a cos ϕϕ +bψ 2 sinψ −a sin ϕϕ 2
                      ψ =
                                           b cosψ
Учитывая, что ϕ =εOA =0 , ϕ =ωOA =ω , a ψ =ωAB , то для заданных углов ψ
определяет ε AB - мгновенное угловое ускорение.
                                    �             3
                                      �� x(t ) = 2 a cos(ωt )
Ответ: Закон движения точки M : �
                                        � y (t ) = 1 a sin(ωt )
                                         ��        2
                                                2
                                              x        y2
 1. Траектория точки M : эллипс 3 2 + 1 2 =1
                                            ( a)     ( a)
                                             2        2
                                 � x(t ) =2a cos(ωt )
 2. Закон движения ползуна B : �
                                  � y (t ) =0

Страницы