Решение задач по теоретической механике. Ч.3. Динамика. Чеботарев А.С - 10 стр.

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ВГУ | Воронеж

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10
Ɂɚɞɚɱɚ 3. Ɍɨɧɤɨɟ ɤɪɭɝɥɨɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɟ ɤɨɥɶɰɨ ɪɚɞɢɭɫɨɦ
R
ɢ ɦɚɫɫɨɣ
M
.
ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ
z
J
– ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ
ɨɫɢ
Cz
, ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɤɨɥɶɰɚ ɢ
ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɟɝɨ ɰɟɧɬɪ
Ɋɚɡɞɟɥɢɦ ɤɨɥɶɰɨ ɧɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ ɨɬɪɟɡɤɢ
ɞɥɢɧɨɣ dl ɢ ɦɚɫɫɨɣ dm
i
. Ɋɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɨɬ ɤɚɠɞɨɝɨ
ɬɚɤɨɝɨ ɨɬɪɟɡɤɚ ɞɨ ɨɫɢ ɪɚɜɧɨ ɪɚɞɢɭɫɭ ɤɨɥɶɰɚ R
i
=R,
ɬɨɝɞɚ ɩɨɥɭɱɢɦ
¦
fo
n
i
ii
n
cz
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1
2
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i
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2
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¦
fo
.
Ɋɚɞɢɭɫ ɢɧɟɪɰɢɢ ɤɨɥɶɰɚ ɪɚɜɟɧ ɪɚɞɢɭɫɭ ɤɨɥɶɰɚ
(ɞɥɹ ɨɫɢ
z
). ɗɬɨ ɜɟɪɧɨ ɢ ɞɥɹ ɬɨɧɤɨɣ
ɰɢɥɢɧɞɪɢɱɟɫɤɨɣ ɨɛɨɥɨɱɤɢ ɦɚɫɫɨɣ
M
ɢ ɪɚɞɢɭɫɨɦ
R
ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɟɟ ɨɫɢ.
Ʉɪɭɝɥɚɹ ɨɞɧɨɪɨɞɧɚɹ ɩɥɚɫɬɢɧɚ (ɢ/ɢɥɢ ɰɢɥɢɧɞɪ) ɪɚɞɢɭɫɨɦ
R
ɢ ɦɚɫɫɨɣ
M
.
ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ
z
J
– ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ
ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ
Cz
ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨɣ
ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɩɥɚɫɬɢɧɵ ɢ ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɟɟ
ɰɟɧɬɪ.
ɉɥɨɳɚɞɶ ɜɵɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɝɨ ɤɨɥɶɰɚ
ɪɚɞɢɭɫɚ
r
ɢ ɲɢɪɢɧɚ
dr
ɪɚɜɧɚ
rdrdS S 2
, ɚ
ɦɚɫɫɚ
rdrdm SU
2
, ɝɞɟ
2
R
M
S
U
– ɦɚɫɫɚ
ɟɞɢɧɢɰɵ ɩɥɨɳɚɞɢ ɩɥɚɫɬɢɧɵ.
Ɍɨɝɞɚ, ɩɪɢɦɟɧɹɹ ɮɨɪɦɭɥɭ ɞɥɹ ɤɨɥɶɰɚ
MRJ
z
2
, ɩɨɥɭɱɢɦ ɞɥɹ ɜɵɞɟɥɟɧɧɨɝɨ
ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɝɨ ɤɨɥɶɰɚ
drrdmrdJ
c
32
2SU
, ɚ ɞɥɹ ɜɫɟɣ ɩɥɚɫɬɢɧɵ
22
2
24
0
3
MRR
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R
zc
³
SUSU
ɢɥɢ ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɞɜɨɣɧɨɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ.
Ɍɚɤ ɤɚɤ
M
rdrddxdydS
, ɬɨ, ɩɟɪɟɯɨɞɹ
ɤ ɰɢɥɢɧɞɪɢɱɟɫɤɢɦ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦ,
ɩɨɥɭɱɢɦ.
22
2
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22
23
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00 0 0
2
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2
z
VS
RR
R
M
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II
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³³ ³ ³
³
     Ɂɚɞɚɱɚ 3. Ɍɨɧɤɨɟ ɤɪɭɝɥɨɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɟ ɤɨɥɶɰɨ ɪɚɞɢɭɫɨɦ R ɢ ɦɚɫɫɨɣ M .
                          ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ J z – ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ
                          ɨɫɢ Cz , ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɤɨɥɶɰɚ ɢ
                          ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɟɝɨ ɰɟɧɬɪ
                          Ɋɚɡɞɟɥɢɦ ɤɨɥɶɰɨ ɧɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɟ ɨɬɪɟɡɤɢ
                          ɞɥɢɧɨɣ dl ɢ ɦɚɫɫɨɣ dmi. Ɋɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɨɬ ɤɚɠɞɨɝɨ
                          ɬɚɤɨɝɨ ɨɬɪɟɡɤɚ ɞɨ ɨɫɢ ɪɚɜɧɨ ɪɚɞɢɭɫɭ ɤɨɥɶɰɚ Ri=R,
                          ɬɨɝɞɚ ɩɨɥɭɱɢɦ
                                                   n                                      n
                              Jz   Jc   lim ¦ Ri2 dmi                    R 2 lim ¦ dmi          R2M .
                                        nof                                    nof
                                                  i 1                                     i 1
                       Ɋɚɞɢɭɫ ɢɧɟɪɰɢɢ ɤɨɥɶɰɚ ɪɚɜɟɧ ɪɚɞɢɭɫɭ ɤɨɥɶɰɚ
                       (ɞɥɹ ɨɫɢ z ). ɗɬɨ ɜɟɪɧɨ ɢ ɞɥɹ ɬɨɧɤɨɣ
                       ɰɢɥɢɧɞɪɢɱɟɫɤɨɣ ɨɛɨɥɨɱɤɢ ɦɚɫɫɨɣ M ɢ ɪɚɞɢɭɫɨɦ
                        R ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɟɟ ɨɫɢ.
Ʉɪɭɝɥɚɹ ɨɞɧɨɪɨɞɧɚɹ ɩɥɚɫɬɢɧɚ (ɢ/ɢɥɢ ɰɢɥɢɧɞɪ) ɪɚɞɢɭɫɨɦ R ɢ ɦɚɫɫɨɣ M .
                            ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ     Jz    –   ɦɨɦɟɧɬ    ɢɧɟɪɰɢɢ
                            ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ Cz ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨɣ
                            ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɩɥɚɫɬɢɧɵ ɢ ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɟɟ
                            ɰɟɧɬɪ.
                            ɉɥɨɳɚɞɶ ɜɵɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɝɨ ɤɨɥɶɰɚ
                            ɪɚɞɢɭɫɚ r ɢ ɲɢɪɢɧɚ dr ɪɚɜɧɚ dS 2Srdr , ɚ
                                                          M
                            ɦɚɫɫɚ dm U2Srdr , ɝɞɟ U           – ɦɚɫɫɚ
                                                         SR 2
                            ɟɞɢɧɢɰɵ ɩɥɨɳɚɞɢ ɩɥɚɫɬɢɧɵ.

                                             2
    Ɍɨɝɞɚ, ɩɪɢɦɟɧɹɹ ɮɨɪɦɭɥɭ ɞɥɹ ɤɨɥɶɰɚ J z R M , ɩɨɥɭɱɢɦ ɞɥɹ ɜɵɞɟɥɟɧɧɨɝɨ
                                2          3
ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɝɨ ɤɨɥɶɰɚ dJ c r dm 2SUr dr , ɚ ɞɥɹ ɜɫɟɣ ɩɥɚɫɬɢɧɵ
               R
                              R4   MR 2
Jc   Jz   2SU ³ r 3 dr   SU              ɢɥɢ ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɞɜɨɣɧɨɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ.
               0
                              2     2
                                        Ɍɚɤ ɤɚɤ dS dxdy rdrdM , ɬɨ, ɩɟɪɟɯɨɞɹ
                                      ɤ      ɰɢɥɢɧɞɪɢɱɟɫɤɢɦ       ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦ,
                                      ɩɨɥɭɱɢɦ.
                                                                2        M            2
                                        Jz         ³ U r dv
                                                  (V )
                                                                        S R2    ³ r ds
                                                                               (S )
                                                         R 2S                      R 2S
                                          M                         2           M § 3 ·
                                         S R2          ³ ³ r rdI dr
                                                         0 0
                                                                                 2 ³¨ ³
                                                                               SR 0© 0
                                                                                        r dI ¸ dr
                                                                                             ¹
                                                         R
                                          M                               MR 2
                                                  r 3 2S dr
                                         S R 2 ³0
                                                                               .
                                                                           2

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