Введение в механику сплошных сред. Чеботарев А.Ю. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

div = 0
M0
M1
∂ρ
∂t
+
~
∇ρ = 0,
div = 0,
ρ
d
dt
= −
~
∇p + µ∆ + ρ .
ρ = Const M1
M2
div = 0,
d
dt
= −
1
ρ
~
∇p + ν∆ + , ν = ρ
−1
µ.
ν
M2
E(t) =
Z
ω
t
ρ
2
2
dx,
dE
dt
=
Z
∂ω
t
(
n
)dS −
Z
ω
t
Φdx, Φ = 2µD : D
Φ
d
dt
=
∂
∂t
+
∂
∂x
h i M0 M2
| |,
¯
¯
¯
¯
∂
∂x
k
¯
¯
¯
¯
,
1
ν
¿ 1,
20                                                          Ìåõàíèêà Ñïëîøíûõ Ñðåä

÷òî ïîëå ñêîðîñòåé ñîëåíîèäàëüíî, òî åñòü div v = 0. Èñïîëüçóÿ ýòî óñëîâèå è
êîíêðåòèçèðóÿ ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ â M 0, ïðèõîäèì ê çàìêíóòîé ñèñòåìå,
ÿâëÿþùåéñÿ ìîäåëüþ íåñæèìàåìîé íåîäíîðîäíîé âÿçêîé æèäêîñòè
                           
                            ∂ρ     ~ = 0,
                           
                                + v∇ρ
                            ∂t
                        M1
                            div v = 0,
                           
                           
                            ρ dv = −∇p
                                      ~ + µ∆v + ρf.
                                  dt


 ñëó÷àå îäíîðîäíîé æèäêîñòè, òî åñòü ïðè ρ = Const, èç M 1 ïîëó÷àåòñÿ
êëàññè÷åñêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé Íàâüå-Ñòîêñà:
                    
                    
                     div v = 0,
                 M2
                     dv      1~
                         = − ∇p + ν∆v + f, ν = ρ−1 µ.
                      dt      ρ

Çäåñü ν  êîýôôèöèåíò êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòè.

     Çàìå÷àíèå 4.2.1  ðàìêàõ ìîäåëè M 2 ïðîñòî âû÷èñëèòü, êàê ìåíÿåòñÿ
ñ òå÷åíèåì âðåìåíè êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îáúåìà æèäêîñòè. Åñëè îáîçíà÷èòü
                                          Z
                                                  ρv2
                                 E(t) =               dx,
                                            ωt     2

òî ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ ìàññîâûõ ñèë ïîëó÷àåì:
                        Z                     Z
                 dE
                    =          (pn v)dS −          Φdx, Φ = 2µD : D         (4.2.1)
                 dt      ∂ωt                  ωt


Ïåðâûé ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè (4.2.1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììàðíóþ ìîùíîñòü
ïîâåðõíîñòíûõ ñèë, à âòîðîé îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè, òî
åñòü êîëè÷åñòâî ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè, êîòîðîå çà åäèíèöó âðåìåíè ïåðåõîäèò
â òåïëîâóþ ýíåðãèþ (è îòñþäà íàçâàíèå Φ  äèññèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ).
                           dv   ∂v ∂v
   Îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó     =     +    hvi, òî ìîäåëè M 0M 2 ÿâëÿþòñÿ
                           dt    ∂t   ∂x
íåëèíåéíûìè.  òîì ñëó÷àå, åñëè
                                       ¯     ¯
                                       ¯ ∂v ¯ 1
                                |v| , ¯¯     ¯,  ¿ 1,                       (4.2.2)
                                         ∂xk ¯ ν

Страницы