Введение в механику сплошных сред. Чеботарев А.Ю. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

U = U(ρ, s)
dA = pd(ρ
−1
) = −
pdρ
ρ
2
.
P P : D
P = −
~
∇p + λ
~
∇(div ) + 2µ D,
P : D = −p div + Φ,
Φ = (λ +
2
3
µ)(div )
2
+ 2µD
0
: D
0
D
0
D
θ =
∂U
∂s
, p = ρ
2
∂U
∂ρ
,
ρ
dU
dt
= ρθ
ds
dt
− p div .
M0
dρ
dt
+ ρ div = 0, θ =
∂U
∂s
, p = ρ
2
∂U
∂ρ
,
ρ
d
dt
= −
~
∇p + (λ + µ)
~
∇(div ) + µ∆ + ρ ,
ρθ
ds
dt
= div (κ
~
∇θ) + Φ,
dρ/ dt = 0
Ìåõàíèêà Ñïëîøíûõ Ñðåä                                                   19

   Äëÿ ïîñòðîåíèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé æèäêîñòè èëè ãàçà áóäåì
ñ÷èòàòü èçâåñòíîé çàâèñèìîñòü U = U (ρ, s), ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ìåõàíè÷åñêàÿ
ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ñðåäîé, îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì

                                                  pdρ
                            dA = pd(ρ−1 ) = −         .              (4.1.2)
                                                   ρ2

Çàêîí Ñòîêñà ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü divP è P : D.  ñëó÷àå ïîñòîÿííûõ êîýô-
ôèöèåíòîâ âÿçêîñòè ïîëó÷àåì

                             ~ + λ∇(div
                     divP = −∇p   ~     v) + 2µdivD,                 (4.1.3)

                             P : D = −p div v + Φ,                   (4.1.4)

ãäå âûðàæåíèå Φ = (λ + 23 µ)(div v)2 + 2µD0 : D0 íîñèò íàçâàíèå äèññèïàòèâ-
íîé ôóíêöèè, D0  äåâèàòîð òåíçîðà D. Èç (4.1.2), ïðèìåíÿÿ ïåðâûé çàêîí
òåðìîäèíàìèêè, çàêëþ÷àåì, ÷òî

                                  ∂U              ∂U
                             θ=      ,   p = ρ2      ,               (4.1.5)
                                  ∂s              ∂ρ
                                dU     ds
                            ρ      = ρθ − p div v.                   (4.1.6)
                                dt     dt
Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè, èì-
ïóëüñîâ è ýíåðãèè, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé çàìêíóòîé ñèñòåìå
                
                   dρ                      ∂U          2 ∂U
                
                      +  ρ div v = 0,  θ =    , p =  ρ      ,
                
                 dt                        ∂s            ∂ρ
                      dv       ~ + (λ + µ)∇(div
                                            ~
             M0
                   ρ     = −∇p                    v) + µ∆v + ρf,
                
                     dt
                
                         ds           ~ + Φ,
                       ρθ     = div (κ∇θ)
                          dt
êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ êëàññè÷åñêîé ìîäåëüþ æèäêîñòè èëè ãàçà è ñîäåðæèò 7
íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé è 7 ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé.


4.2 Âÿçêàÿ íåñæèìàåìàÿ æèäêîñòü
Ñïëîøíàÿ ñðåäà íàçûâàåòñÿ íåñæèìàåìîé, åñëè ïëîòíîñòü ñîõðàíÿåòñÿ âäîëü
òðàåêòîðèé, òî åñòü dρ/ dt = 0. Èç óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè ñðàçó âûòåêàåò,

Страницы