ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
то
∑
×=× ;
kk
prPr
C
или
∑
=×−× .0
kk
prPr
C
Выберем единичный вектор
,e
определяющий направление сил тяжести.
Тогда :
,epp
kk
=
.ePP =
Подставим эти значения в предыдущее равенство:
∑
=×−× .0
kk
eprePr
C
В этом выражении Р и р
k
являются скалярными
коэффициентами, поэтому их можно поставить перед векторами
C
r
и
k
r
, вектор
,e
можно вынести за скобки, получим
∑
=×− .0)( erprP
kk
C
Как было отмечено выше, при повороте тела силы тяжести поворачиваются
относительно него на один и тот же угол, а центр тяжести С сохраняет положение
неизменным. Эту же ситуацию можно смоделировать (рис.36), повернув все силы
тяжести на один и тот же угол вокруг точек приложения, оставив при этом тело
неподвижным. Тогда
единичный вектор
e
изменит свое направление, и поэтому
в общем случае он не будет параллелен вектору
∑
− )(
kk
rprP
C
. Так как вектор
e
не равен нулю, то векторное произведение векторов
∑
− )(
kk
rprP
C
и
e
будет
равно нулю только тогда, когда вектор
∑
− )(
kk
rprP
C
будет равен нулю:
.0)( =−
∑
kk
rprP
C
Отсюда определяем значение радиуса - вектора
C
r
центра
тяжести тела.
.
P
rp
r
kk
C
∑
=
Свяжем с точкой С систему координат xyz . Тогда координаты цента тяжести
в этом системе координат определяются следующими формулами:
;
P
xp
x
kk
C
∑
=
;
P
yp
y
kk
C
∑
=
;
P
zp
z
kk
C
∑
=
где - координаты
точек приложения сил тяжести
kkk
zyx ,,
k
p
, действующих на частицы тела. Для
однородного тела сила тяжести
любой его части пропорциональна объему v
k
p
k
этой части: p
k
=
γ
v
k
, а сила тяжести тела Р пропорциональна объему V этого тела:
P=
γ
V.
Подставив значения Р и р
к
в формулы координат центра тяжести, получим:
;
V
xv
x
kk
C
∑
=
;
V
yv
y
kk
C
∑
=
.
V
zv
z
kk
C
∑
=
Положение центра тяжести тела, как следует из полученных формул, зависит
только от геометрической формы тела, поэтому точку С называют центром
тяжести объема.
Аналогично определим центр тяжести однородной плоской пластины,
расположенной в плоскости ху:
;
S
xs
x
kk
C
∑
=
;
S
ys
y
kk
C
∑
=
где S – площадь всей пластины, s
k
– площади ее частей.
Точно также получаются координаты центра тяжести однородной линии:
;
L
xl
x
kk
C
∑
=
;
L
yl
y
kk
C
∑
=
L
zl
z
kk
C
∑
=
, где L – длина всей линии, l
k
–
длины ее частей.
