Рассмотрим два отрезка [-2,0] и [0,2] отдельно; так как f(0)= -2, то
f(2)⋅f(0)>0, a f(0)⋅f(2)<0. На первом отрезке [-2,0] либо нет корней, либо их
четное число, а на втором отрезке [0,2] - корней нечетное число.
На втором отрезке первая производная меняет знак, вторая - не меняет,
поэтому на этом отрезке есть единственный корень. Таким образом,
отделен один корень уравнения - на отрезке [0,2].
Первый отрезок делим пополам, получаем два подинтервала: [-2,-1] и [-
1,0]. Так как f(-1)=1, значения функций на концах каждого из отрезков
различны: f(-2)⋅ f(-1)<0 и f(-1)⋅ f(0)<0; эти отрезки должны
содержать нечетное число корней. На отрезке [-2,-1] первая производная
не меняет знака, а на отрезке [-1,0] вторая производная не меняет своего
знака. Отсюда можно заключить, что на интервалах [-2,-1] и [-1,0]
имеется по одному корню.
Таким образом, на отрезке [-2,2] для уравнения x
5
-4x-2=0 отделено три
действительных корня на отрезках [-2,-1], [-1,0] и [0,2].
2.3. Уточнение корней
Численный метод, при котором уточняется первоначальное грубое
приближение, называется итерационным методом или методом
последовательных приближений. Каждый шаг этого метода называется
итерацией.
Если при последовательных итерациях (к=1,2,...) получаемые величины
х
(к)
все ближе приближаются к истинному значению корня ξ, то
итерационный процесс будет сходящимся, в противном случае -
расходящимся. При этом различают монотонную и колебательную
сходимость (расходимость) в зависимости от того, с одной или с разных
сторон осуществляется приближение (удаление) к (от) искомому
решению.
Для реализации итерационного процесса должны быть заданы
начальное приближение х
(0)
и точность ε, с которой требуется найти
решение уравнения.
Первоначальное грубое приближение х
(0)
следует задавать из
физических соображений и по результатам отделения корней. Все
остальные приближения получаются из итерационной формулы,
соответствующей используемому методу решения уравнения.
Условие окончания итерационного процесса (нахождения значения
корня с точностью ε) имеет вид
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
