Составители:
17
Согласно (5), для решения системы из 10 уравнений по формулам Крамера
требуется примерно
7
104⋅ умножений. Полагая для оценки время одной
операции равной
сек 10
9−
, получаем время решения порядка сек040. .
Однако решение системы из 100 уравнений требует примерно
160
10
операций, что занимает время порядка
лет 103сек10
152159
⋅
≈
. Для
сравнения, возраст Вселенной составляет примерно
лет102
10
⋅
. Заметим,
что современные задачи требуют решения систем линейных уравнений
существенно больших размерностей.
2.2 Метод Гаусса с выделением главного элемента
Одним из самых распространенных методов решения систем линейных
алгебраических уравнений является метод Гаусса. На первом этапе (прямой
ход) система приводится к верхнетреугольному виду. На втором этапе
(обратный ход) находятся искомые значения неизвестных.
Прямой ход. Рассмотрим первое уравнение системы (1):
1nn1212111
b
xaxaxa
=
+
+
+ ... . (6)
Поскольку определитель системы не равен нулю, в левой части
уравнения (6) есть по крайней мере один не равный нулю коэффициент.
Найдем в этом уравнении максимальный по абсолютной величине
коэффициент. Перенумеруем неизвестные
i
x
так, чтобы слагаемое с этим
коэффициентом стояло на первом месте в уравнении (6). Это эквивалентно
перестановке столбцов матрицы (4) системы (1). Разделим уравнение (6) на
этот коэффициент. Тогда (6) приобретает вид
112121
f
x
c...
x
c
x
nn
=
+
+
+
, (7)
где
11
1
1
11
1
1
11
13
13
11
12
12
a
b
f,
a
a
c...,,
a
a
c,
a
a
c
n
n
==== .
Второе уравнение системы (1) имеет вид
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
