Составители:
30
xxz −=
kk
(5)
и невязка решения
Bxψ −=
kk
A . (6)
Сходимость итерационного процесса означает, что
0=
∞→
k
k
lim z
. Норма
погрешности показывает, насколько приближенное решение, полученное на
k
-м шаге итерации, близко к точному решению. К сожалению, эту величину
нельзя определить в ходе итераций, поскольку искомое решение неизвестно.
Невязка решения показывает, насколько хорошо
k
x
удовлетворяет системе
(1). Эта величина легко рассчитывается на каждом итерационном шаге.
Установим связь между
k
z и
k
ψ :
.A)(AA
kkkk
zBxzBxψ =−+=−= (7)
Используя обратную матрицу
1−
A
, получаем
kk
A ψz
1−
= . (8)
Из формул (7) и (8) вытекают неравенства:
kkkk
A,A ψzzψ
1−
≤≤ . (9)
Следовательно, погрешность решения стремится к нулю тогда и только
тогда, когда стремится к нулю невязка. При исследовании сходимости
итерационных методов большую роль играют самосопряженность и
знакоопределенность матриц
Aи
C
- см. Приложение 2.
3.2 Достаточные условия сходимости итерационного процесса
Теорема Самарского. Пусть
A- самосопряженная положительно
определенная матрица,
AC
2
τ
−
- положительно определенная матрица,
τ
-
положительное число. Тогда при любом выборе нулевого приближения
0
x итерационный процесс (2) сходится к решению системы (1).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
