Составители:
35
B
S
kk
τ
+
=
+
x
x
1
. (26)
Погрешность
xxz −=
kk
будет удовлетворять аналогичному
рекуррентному соотношению:
kk
Szz =
+1
. (27)
Согласно (27), скорость сходимости итерационного процесса определяется
значением нормы оператора перехода:
kk
S zz ⋅≤
+1
, тогда
0
zz ⋅≤
k
k
S . (28)
Таким образом, чем меньше
S , тем быстрее сходится итерационный
процесс. Рассчитаем величину этой нормы. Пусть
i
e и
i
λ
- собственный
вектор и соответствующее собственное число матрицы
A
. Тогда
iiii
)
(
)
A
I
(
S
eee
τ
λ
−
=
τ
−
= 1 .
Таким образом,
i
e является одновременно и собственным вектором матрицы
S
, а соответствующее собственное число матрицы
S
имеет вид
ii
)
(
τ
λ
−
=
τ
μ
1
. (29)
При самосопряженной матрице
A
матрица
S
также является
самосопряженной. Следовательно, ее норма определяется наибольшим по
модулю собственным значением
(
)
τ
μ
i
:
(
)
i
ni
i
ni
maxmaxS
τ
λ
−
=
τ
μ
=
≤≤≤≤
1
11
. (30)
Найдем значение итерационного параметра
τ
, при котором S имеет
минимальное значение. Это значение и обеспечивает максимальную
скорость сходимости итерационного процесса.
На Рис. 1 представлены графики зависимости от параметра
τ
функций
i
τλ−1 и нормы матрицы перехода )(S
τ
. В соответствии с (30), график
)(S τ является верхней огибающей графиков
i
τ
λ
−
1 . Оптимальное
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
