Составители:
55
Построенный итерационный сходится быстрее, чем описанный выше
градиентный метод.
5.2 Нахождение минимума функции многих переменных
Рассмотрим основные методы минимизации функций многих переменных
(
)
(
)
x
f
x,...,x
f
y
n
≡
=
1
.
а. Метод перебора. Как и в случае функций одной переменной, метод
сводится к расчету набора значений функции в некоторой области и выбору
минимального значения. Метод позволяет найти глобальный минимум
функции. Для задач с высокой размерностью приводит к недопустимо
большому количеству вычислений.
б. Симплекс-метод. Это своеобразный метод нулевого порядка, основанный
на построении симплекса – множества равноудаленных точек, в количестве
на единицу превышающем размерность пространства. В двумерном случае
симплекс – это равносторонний треугольник. В трехмерном случае –
правильная треугольная пирамида. На начальном шаге итерационного
процесса даются координаты исходного симплекса и в них рассчитываются
значения минимизируемой функции. Среди вершин симплекса находится та,
в которой функция
имеет наибольшее значение. Для построения нового
симплекса эта вершина отбрасывается. Вместо нее выбирается новая
вершина, симметрично отраженная от плоскости, проведенной через
остальные вершины. В новой вершине рассчитывается значение функции. В
старых же вершинах, вошедших в новый симплекс, значения функции уже
известны. Снова находится вершина, в которой функция имеет наибольшее
значение. И
так далее. Ключевым моментом является то, что на каждом шаге
итерационного процесса требуется расчет функции лишь в одной точке. Для
минимизации функций в многомерных пространствах это оказывается очень
важным.
в. Градиентный метод. Метод первого порядка, основанный на том факте,
что градиент функции направлен в направлении ее наибольшего
возрастания. Соответственно, двигаясь
в сторону противоположную
градиенту, мы приближаемся к минимуму функции. Итерационная
последовательность градиентного метода имеет вид
(
)
(
)
kkk
fgrad xxx ⋅ε−=
+1
. (5)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
