Составители:
56
г. Метод Ньютона. Метод второго порядка. Разложим функцию
(
)
x
f
в ряд
Тейлора около значения аргумента
k
x
до членов второго порядка:
()
(
)
() ()( )
k
jj
k
ii
n
j,i
k
j
k
i
k
k
ii
n
i
k
i
k
k
xxxx
xx
f
xx
x
f
fy −−
∂∂
∂
+−
∂
∂
+=
∑∑
== 1
2
1
2
1 xx
x
.
(6)
Найдем минимум квадратичной формы (6)
(
)
(
)
()
0
2
=−
∂∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∑
k
ii
n
i
k
m
k
i
k
k
m
k
m
xx
xx
f
x
f
x
y
xx
. (7)
Введем матрицу
()
(
)
n
m,i
k
m
k
i
k
k
xx
f
f
1
2
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂∂
∂
=
′′
x
x
и вектор градиента
()
()
n
m
k
m
k
k
x
f
1=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂
=
′
x
xf
. Запишем систему уравнений в виде
(
)
fxx
′
−=−⋅
′′
k
f . (8)
Для того чтобы функция
(
)
x
f
имела минимум в окрестности точки
k
x ,
матрица
(
)
k
f x
′′
должна быть положительно определенной, а,
следовательно, невырожденной. Вводя обратную матрицу
()()
1
−
′′
k
f x ,
запишем решение системы (8) в виде
()()
(
)
kkk
f xfxxx
′′′
−=
−
1
. (9)
Если бы функция
(
)
x
f
была квадратичной, мы за один шаг получили бы
точное положение ее минимума. В общем случае мы будем рассматривать
x
лишь как новый шаг итерационной последовательности
(
)
(
)
(
)
kkkk
f xfxxx
′′′
−=
−
+
1
1
. (10)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
