Составители:
64
поэтому речь идет об оценке
(
)
xR
n
при значениях
i
xx
≠
.
Для того чтобы это сделать, введем дополнительно предположение о
гладкости функции
(
)
x
f
. Пусть эта функция имеет непрерывную
производную порядка
1+n на отрезке
[
]
b,a .
В силу (25)
(
)
xR
n
можно представить в виде
(
)
(
)
(
)
xrxxR
nnn 1+
ω
=
, (26)
где
(
)
x
n 1+
ω - полином 1+n -й степени:
(
)
(
)
(
)
(
)
nn
xx...xxxxx
−
−
−
=ω
+ 101
. (27)
Зафиксируем произвольное значение
[
]
b,ax
∈
и рассмотрим
вспомогательную переменную
t
и функцию от нее:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xr
t
t
P
t
f
t
g
nnn 1+
ω
−
−
=
,
заданную на отрезке
[
]
b,a и содержащую переменную x в качестве
параметра. В силу своего определения функция
(
)
t
g
должна обращаться в
нуль в узлах интерполирования
i
x
t
=
. Кроме того, согласно (24), (26),
(
)
t
g
должна обращаться в нуль при x
t
=
. Таким образом,
(
)
t
g
имеет по
крайней мере
2+n нуля:
(
)
0100
=
==
)
x
(
g
,n,...,,i,x
g
i
. (28)
Если
[
]
n
x,xx
0
∈ , то все эти нули также лежат на отрезке
[
]
n
x,x
0
. Если
0
xx < , то эти нули, вообще говоря, принадлежат отрезку
[
]
n
x,x , а если
n
xx > , то они находятся на отрезке
[
]
x,x
0
. Объединяя эти три случая,
скажем, что указанные нули функции
(
)
t
g
принадлежат отрезку
[
]
βα, , где
(
)
(
)
bx,xmax,ax,xmin
n
≤
=β≥=α
0
.
Согласно теореме Ролля, можно утверждать, что производная
(
)
t
g
′
имеет по крайней мере
1+n
нуль на отрезке
[
]
β
α
, (эти нули перемежаются
с нулями самой функции
(
)
t
g
. Повторяя это рассуждение, видим, что
(
)
t
g
′
′
имеет по крайней мере
n нулей на отрезке
[
]
β
α
, и, наконец,
()
tg
)n( 1+
обращается хотя бы один раз в нуль в некоторой точке
[
]
βα∈ξ= ,
t
, т.е.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- …
- следующая ›
- последняя »
