Вычислительные методы в технологиях программирования. Элементы теории и практикум. Чивилихин С.А. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

66
6.4 Сходимость интерполяционного процесса
Поставим вопрос: будут ли сходиться интерполяционные полиномы
(
)
x
P
n
к интерполируемой функции
(
)
x
f
на отрезке
[
]
b,a при
неограниченном возрастании числа узлов
n
?
Упорядоченное множество точек
n,...,,i,x
i
10
=
, назовем сеткой на
отрезке
[
]
b,a и обозначим
n
Ω
. Рассмотрим последовательность сеток с
возрастающим числом узлов
{
}
{
}
{
}
,...x,...,x,x,...,x,x,x
)n(
n
)n()n(
n
)()()(
10
1
1
1
01
0
00
=Ω=Ω=Ω
и отвечающую ей последовательность интерполяционных полиномов
(
)
xP
n
,
построенных для фиксированной непрерывной на отрезке
[
]
b,a функции
(
)
x
f
.
Интерполяционный процесс для функции сходится в точке
[
]
b,ax
*
∈ ,
если существует предел
(
)
(
)
**n
n
x
f
xPlim
=
∞→
. Наряду с обычной
(поточечной) сходимостью, часто рассматривается сходимость в различных
нормах. Так, равномерная сходимость на отрезке
[
]
b,a означает, что
[]
() ()
0→−
∈
xPxfmax
n
b,ax
при
∞
→n .
Сходимость или расходимость интерполяционного процесса зависят как от
выбора последовательности сеток, так и от гладкости функции
(
)
x
f
. Если
(
)
x
f
- целая аналитическая функция, то при произвольном расположении
узлов на отрезке
[
]
b,a , интерполяционный многочлен
()
xP
n
равномерно
сходится к
(
)
x
f
при ∞→n .
Положение резко меняется, если производные функции разрывны или
не существуют в отдельных точках. Например, для функции
()
xxf = на
отрезке
[
11,− , покрытом равномерной сеткой узлов, значения
()
xP
n
между
узлами интерполяции неограниченно возрастают при
∞→n . Вместе с тем
для заданной непрерывной функции
(
)
x
f
за счет выбора сеток можно
добиться сходимости, притом равномерной на
[
]
b,a . Однако построить
такие сетки довольно сложно, и, главное, такие сетки «индивидуальны» для
каждой конкретной функции.
Объем вычислений при построении интерполяционного полинома
быстро нарастает с ростом
n. Поэтому на практике избегают пользоваться
интерполяционными полиномами высокой степени. Более распространенной
является интерполяция сплайнами, которую мы обсудим ниже.

Страницы