Составители:
67
6.5 Интерполяционный полином Эрмита
Расширим постановку задачи об интерполяции. Ранее полагалось, что
в узлах интерполяции заданы только значения функции
(
)
x
f
. Пусть теперь
в узлах
[
]
m,...,,
k
,b,ax
k
10=∈
, среди которых нет совпадающих,
заданы значения функции
(
)
k
x
f
и ее производных
()
()
121 −=
kk
i
N,...,,i,xf до
1
−
k
N
-го порядка включительно. Числа
k
N
при этом называют кратностью узла
k
x . В каждой точке
k
x , таким
образом, задано
k
N
величин:
()
(
)
(
)
k
N
kk
xf,...,xf,xf
k
1−
′
.
В общей сложности на всей совокупности узлов
m
x,...,x,x
10
известно
m
N
...
N
N
+++
10
величин, что дает возможность ставить вопрос о
построении полинома
(
)
x
H
n
степени
,
N
...
N
n
m
1
0
−
+
+
= (33)
удовлетворяющего требованиям
()
()
()
()
11010 −===
kk
i
k
i
n
N,...,,i;m,...,,k,xfxH . (34)
Такой полином называется интерполяционным полиномом Эрмита для
функции
(
)
x
f
. Рассмотренный ранее вариант построения
интерполяционного полинома
(
)
x
P
n
по известным значениям функции
(
)
x
f
в узлах интерполяции является частным случаем построения полинома
Эрмита при условии, что все узлы простые:
.m,...,,k,
N
k
101
=
=
Докажем, что интерполяционный полином Эрмита существует и
является единственным. Представим его в стандартном виде:
()
n
nn
xa...xaaxH +++=
10
.
Наше утверждение будет справедливо, если показать, что коэффициенты
n
a,...,a,a
10
определяются из условий (34), и притом единственным
образом. Условия представляют собой систему линейных алгебраических
уравнений относительно этих коэффициентов, причем число уравнений рав-
но числу неизвестных, а именно:
1
10
+
=
+
+
+
n
N
...
N
N
m
. Для того,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
