Составители:
68
чтобы эта система была однозначно разрешима, соответствующая ей
однородная система должна иметь только тривиальное (нулевое) решение.
Рассмотрим соответствующую однородную систему
1
10100
−
===
kk
)i(
n
N,...,,i,m,...,,k,)x(H
. (35)
Уравнения (35) указывают на то, что числа
k
x являются корнями полинома
(
)
x
H
n
кратности
k
N
. Мы видим, таким образом, что полином
(
)
x
H
n
имеет,
с учетом кратности, не менее
1
10
+
=
+
+
+
n
N
...
N
N
m
. Поскольку его
степень равна
n, то он должен тождественно равняться нулю. Это означает,
что
0
10
====
n
a...aa , т.е. однородная система уравнений (35) имеет
только тривиальное решение. Отсюда следует, что неоднородная система
(34) при любой правой части разрешима, и притом единственным образом.
Исследование погрешности интерполирования полинома Эрмита
(
)
(
)
(
)
x
H
x
f
xR
nn
−= почти дословно повторяет проведенное ранее
исследование для полинома с простыми узлами
k
x , в которых заданы только
(
)
k
x
f
. Достаточно представить
(
)
xR
n
в виде
(
)
(
)
(
)
xxrxR
nnn 1+
ω
=
, (36)
где
() ( )
(
)
(
)
,N...Nn
,xx...xxxxx
m
N
m
NN
n
m
++=+
−−−=ω
+
0
101
1
10
(37)
и рассмотреть функцию
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
t
t
r
t
H
t
f
t
g
nnn 1+
ω
−
−
=
.
Применяя теорему Ролля к функции
(
)
t
g
и ее производным, с учетом
кратности корней в узлах
k
x
t
= и условия
(
)
0
=
x
g
, придем к формуле
() ()
(
)
()
()
x
!n
)(f
xHxf
n
n
n 1
1
1
+
+
ω
+
ξ
=− . (38)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
