Составители:
80
Глава 8. Численное интегрирование функций
В курсе математического анализа описывается способ расчета
определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница:
() () ()
∫
−==
b
a
,bFbFdxxfI
а где
(
)
x
F
- первообразная подынтегральной функции
(
)
x
f
. Однако,
существует много простых функций, первообразные которых не выражаются
через элементарные функции. В качестве примера можно привести такие
функции, как
2
x
e
−
или
x
xsin
. Многие из таких интегралов подробно
исследованы и названы новыми - специальными функциями. С ними можно
работать так же, как и с обычными функциями. В частности, интеграл от
2
x
e
−
называется интегралом вероятности, а интеграл от
x
xsin
-
интегральным синусом. Однако, даже класс специальных функций
недостаточно широк, чтобы охватить все практически важные случаи.
Универсальные алгоритмы вычисления определенных интегралов
дают формулы численного интегрирования или, как их часто называют,
квадратурные формулы. Квадратурные формулы имеют вид
() ( )
∑
∫
=
+==
n
i
nii
b
a
RxfcdxxfI
0
. (1)
Здесь точки
[
]
b,ax
i
∈ называют узлами, коэффициенты
i
c -
весовыми множителями или весами, величину
n
R
- остаточным членом или
погрешностью. Узлы и веса подбираются таким образом, чтобы
выполнялось предельное равенство
0
=
∞→
n
n
Rlim , так что
∑
=
∞→
=
n
i
ii
n
I)x(fclim
0
. (2)
Условие (2), которое называют условием сходимости, позволяет сделать
погрешность в равенстве (1) меньше любого наперед заданного числа за счет
выбора достаточно большого
n. Таким образом, открывается возможность
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- …
- следующая ›
- последняя »
