Составители:
84
() ()
() ( ) ( ) ( ) ()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+++++
−
=
===
−
=
∑
∫∫
−
bfxf...xfxfaf
n
ab
dxxgdxxgT
n
n
i
x
x
n
b
a
nn
i
i
2
1
2
1
121
1
1
. (10)
Он дает приближенное значение интеграла
I
:
()
nn
b
a
TdxxfI β+==
∫
. (11)
В квадратурной формуле (11) узлами являются точки
i
x (3). Все весовые
коэффициенты, кроме двух, одинаковы и равны
n
ab
h
−
=
, а весовые
коэффициенты при
0=i и ni
=
имеют вдвое меньшие значения. Для
остаточного члена введено специальное обозначение
n
β
. Формулу (11)
называют квадратурной формулой трапеций. С точностью до
n
β
она вы-
ражает площадь криволинейной трапеции, соответствующую интегралу
I
через сумму площадей трапеций (10) (см. рис.2). Формула (5) для
величины
n
P изначально строилась как интегральная сумма. При выводе
формулы (10) для величины
n
T
понятие интегральной суммы не
использовалось. Однако теперь, когда формула уже получена, видно, что
величину
n
T
тоже можно интерпретировать как интегральную сумму. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим разбиение отрезка
[
]
b,a на частичные отрезки
точками
i
ξ (4). Оно дает 1+n отрезок. Два крайних
[
]
1
ξ
,a и
[
]
b,
n
ξ имеют
длину
2/h , а остальные - h. Выберем для образования интегральной
суммы на крайних отрезках значения функции
(
)
x
f
в точках
a
и b , а на
остальных отрезках
[
]
1+
ξξ
ii
, - значения функции
(
)
x
f
в их средних точках
11 −≤≤ ni,x
i
. Образованная таким образом интегральная сумма
соответствует выражению (10) для
n
T
.
Формула Симпсона. Вывод квадратурной формулы Симпсона развивает
описанный подход дальше. Теперь для аппроксимации функции
(
)
x
f
используется не кусочно-линейное, а кусочно-квадратичное
интерполирование.
Будем считать
n четным и сгруппируем отрезки
[
]
ii
x,x
1−
парами:
первая пара
[
]
1
x,a ,
[
]
21
x,x вторая пара
[
]
32
x,x ,
[
]
43
x,x и т.д. Для каждого
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
