Составители:
88
вычислении интеграла нужной точности. Ответ на него требует анализа
остаточных членов. При этом на функцию
(
)
x
f
приходится накладывать
некоторые дополнительные ограничения.
Начнем с обсуждения остаточных членов в квадратурных формулах
прямоугольников и трапеций. Предположим, что функция
(
)
x
f
дважды
непрерывно дифференцируема на отрезке
[
]
b,a . В курсе математического
анализа при этом предположении устанавливаются формулы
() ( )
()
,f
h
hfdxxf
*
ii
x
x
i
i
η
′′
+ξ=
∫
−
24
3
1
(22)
()
()
(
)
()
,f
h
h
xfxf
dxxf
**
i
ii
x
x
i
i
η
′′
−
+
=
−
∫
−
122
3
1
1
(23)
где
*
i
η и
**
i
η - некоторые точки отрезка
[
]
ii
x
,
x
1−
. Существование таких
точек гарантировано, но их точное положение неизвестно.
Суммируя равенства (22) и (23) по
i , получаем формулы (11) и (15) со
следующими выражениями для остаточных членов:
()
∑
=
η
′′
=α
n
i
*
in
,f
h
1
3
24
(24)
.
h
n
12
3
−=β (25)
Рассмотрим суммы
()
∑
=
η
′′
n
i
*
i
fh
1
и
(
)
∑
=
η
′′
n
i
**
i
fh
1
. (26)
Функция
(
)
x
f
′′
по предположению непрерывна и, следовательно,
интегрируема на отрезке
[
]
b,a . Следовательно, выражения (26) можно
рассматривать как интегральные суммы для интеграла
()
∫
′′
b
a
dxxf .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- …
- следующая ›
- последняя »
