Составители:
92
Его относительная точность возрастает с увеличением
n
.
Метод Симпсона является методом более высокого порядка точности -
четвертого. В этом его преимущество перед методами прямоугольников и
трапеций. Правда, приведенные выше оценки остаточного члена требуют
большей гладкости подынтегральной функции — она должна быть четыре
раза непрерывно дифференцируема.
8.3 Апостериорные оценки погрешности численного
интегрирования
В латинском языке существуют два термина - антонима: априори (a
priori) и апостериори (a posteriori). Первый означает изначально, независимо
от опыта, второй — на основании опыта. Оба они часто используются в
вычислительной математике, подразделяя информацию на ту, которая извес-
тна до начала вычислений, и ту, которая получается в процессе вычислений.
Оценки погрешности квадратурных формул
прямоугольников (29),
трапеций (30), Симпсона (40) называют априорными. Они справедливы
изначально и предсказывают точность вычисления интеграла независимо от
того, будем мы фактически проводить вычисления или нет. Эти результаты
позволяют понять структуру остаточных членов, определить скорость их
убывания при возрастании
n.
Начнем обсуждение идеи апостериорных оценок погрешности с
методов второго порядка - прямоугольников и трапеций. Предположим, что
мы провели расчеты по методу прямоугольников с числом точек
2
/
n (n
— четное число), а потом с числом точек
n
и в результате получили два
числа -
2/n
P
и
n
P
. Согласно формулам (6) и (29), это позволяет написать
соотношения
() ()
.A
n
PI,A
n
PI
nn/n/n
μ++=μ++=
2
2
2
2
14
(44)
Вычитая теперь второе равенство из первого, получаем
()
04
13
2
22
2
=μ−μ++−
n/nn/n
n
A
n
PP
,
или
()()()
.
n
PPA
n
/nn/nnnn 2
2
2
2
3
4
3
11
μ−μ+−=μ+=α
(45)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- …
- следующая ›
- последняя »
