Вычислительные методы в технологиях программирования. Элементы теории и практикум. Чивилихин С.А. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

94
9. Лабораторный практикум
9.1 Нахождение корня уравнения
Метод половинного деления
Рассмотрим уравнение
(
)
0
=
x
f
. (1)
Если функция
(
)
x
f
непрерывна на отрезке
[
]
b,a и принимает на его концах
значения разных знаков, то на этом отрезке существует, по крайней мере,
один корень уравнения (1).
Предположим, для определенности, что функция
(
)
x
f
принимает на
левом конце отрезка
[
]
b,a отрицательное значение, на правом -
положительное:
(
)
(
)
00 >
<
b
f
,a
f
. (2)
Возьмем на отрезке
[
]
b,a среднюю точку
(
)
2
/
ab
+
=
ξ
и вычислим в ней
значение функции
(
)
ξ
f
. Если
(
)
0
=
ξ
f
, то
ξ
является искомым корнем.
При
(
)
0>ξ
f
, в качестве нового отрезка
[
]
11
b,a выберем отрезок
[
]
ξ,a , а
при
(
)
0<ξ
f
в качестве нового отрезка
[
]
11
b,a
выберем отрезок
[
]
b,ξ .
Новый отрезок
[
]
11
b,a также содержит корень
c
, но имеет вдвое меньшую
длину. Повторяя эту процедуру
n раз мы получаем отрезок
[
]
nn
b,a ,
содержащий корень
cи имеющий длину
n
n
h
h
2
0
= , где
0
h - длина исходного
отрезка
[
]
b,a . Длина отрезка
n
h
представляет собой точность ε, с которой
мы знаем положение корня на
n - шаге процесса половинного деления.
Метод касательных (метод Ньютона)
Метод касательных, является одним из наиболее эффективных
численных методов решения уравнения (1). Идея метода состоит в
следующем. Предположим, что функция
(
)
x
f
, имеющая корень cна
отрезке
[
]
b,a , дифференцируема на этом отрезке и ее производная
(
)
x
f
не
обращается на нем в нуль. Пусть приближенное значение корня функции,

Страницы