Физика. Часть 1. Механика, молекулярная физика и термодинамика. Чухрий Н.И - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

66
Задача 1.8. Диск радиусом
R
=10см вращается вокруг неподвижной
оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается
уравнением
32
Dt
Ct
Bt
A
+++=
ϕ
, где
В
=1рад/с;
С
=1рад/с²;
=1рад/с
3
.Определить для точек, лежащих на ободе колеса, к концу второй
секунды после начала движения: а) тангенциальное ускорение
a
К
, б)
нормальное ускорение
a
Н
; в) полное ускорение
a
; г) число полных
оборотов, сделанных колесом за это время.
Решение: Дано:
32
Dt
Ct
Bt
A
+++=
ϕ
D=1рад/с³
В=1рад/
С=1рад/с²
R=10см=0,1м
t
=2c
a
К,
a
Н
,
a
-?
1)Воспользуемся формулами связи угловой
скорости
ω
и нормального ускорения:
a
Н
=
R
2
ω
,
где угловая скорость по определению равна:
ω
=
dt
d
ϕ
.
Найдем угловую скорость и нормальное ускорение
в указанный момент времени:
ω
=
dt
d
ϕ
=
( )
′
+++
32
DtCtBtA =
В
+2
С
t
+3
D
t
²;
a
Н
=
R
·(
В
+2
С
t
+3
D
t
²)².
Выполним подстановку:
a
Н
=0,1м· (1с
1−
+2·1с
2−
·2с+3·1с
3−
·4с²)²=28,9
2
с
м
.
2) Для нахождения
a
К
воспользуемся соотношением между ней и угловым
ускорением
ε
:
a
К
=
ε
·
R
, где
ε
=
dt
d
ω
по определению. Найдем угловое
ускорение
ε
и касательное ускорение
a
К
в указанный момент времени:
ε
=
dt
d
ω
=(
В
+2C
t
+3
D
t
2
)’=2
С
+6
D
t;
a
К
=
R
· (2
С
+6
D
t
).
Выполним подстановку данных условия задачи:
3) Полное ускорение
a
=
22
н
a
к
a + ; так как численные значения
a
К
и
a
Н
нам уже известны, то просто выполним подстановку
a
=
.29)4,1()9,28(
2
2
2
2
2
с
м
с
м
с
м
≅+
4) Число полных оборотов, совершенных точкой обода колеса, можно
найти, воспользовавшись соотношением для периода вращения
T
(времени
одного полного оборота) и угловой скоростью
ω
:
N
=
t
/
T
=
t
·
ω
/2
π
= (
В
+2
С
t
+3
D
t
2
)·
t
/2
π
. 
      Задача 1.8. Диск радиусом R =10см вращается вокруг неподвижной
оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается
уравнением      ϕ = A + Bt + Ct 2 + Dt 3 , где   В =1рад/с; С =1рад/с²;
D =1рад/с 3 .Определить для точек, лежащих на ободе колеса, к концу второй
секунды после начала движения: а) тангенциальное ускорение a К, б)
нормальное ускорение a Н ; в) полное ускорение a ; г) число полных
оборотов, сделанных колесом за это время.

Дано:                            Решение:
ϕ = A + Bt + Ct   2
                      + Dt   3
                                  1)Воспользуемся       формулами связи угловой
D=1рад/с³                         скорости ω и нормального ускорения:
В=1рад/                          a Н =ω 2 R ,
С=1рад/с²                         где угловая скорость по определению равна:
R=10см=0,1м
t =2c                            ω=
                                      dϕ .
                                      dt
a К, a , a -?
        Н

Найдем       угловую     скорость                        и        нормальное    ускорение
в указанный момент времени:
        ω=
          dϕ = ( A + Bt + Ct + Dt )′ = +2 t +3 D t ²;
                                       2
                                          В С  3

           dt
      a Н = R ·( В +2 С t +3 D t ²)².
 Выполним подстановку:         a Н =0,1м· (1с +2·1с ·2с+3·1с ·4с²)²=28,9 м .
                                                             −1    −2      −3

                                                                         с            2

2) Для нахождения a К воспользуемся соотношением между ней и угловым
ускорением ε : a К= ε · R , где ε =
                                      dω по определению. Найдем угловое
                                      dt
ускорение ε и касательное ускорение a К в указанный момент времени:
      ε = dω =( В +2C t +3 D t )’=2 С +6 D t;
                                           2

           dt
      a К= R · (2 С +6 D t ).
Выполним подстановку данных условия задачи:
3) Полное ускорение a = aк 2 + aн 2 ; так как численные значения                 aК и a   Н

нам уже известны, то просто выполним подстановку
                      м 2          м          м
        a=   (28,9        ) + (1,4 2 ) 2 ≅ 29 2 .
                      с 2
                                  с          с
 4) Число полных оборотов, совершенных точкой обода колеса, можно
 найти, воспользовавшись соотношением для периода вращения T (времени
 одного полного оборота) и угловой скоростью ω :
      N = t / T = t · ω /2 π = ( В +2 С t +3 D t 2 )· t /2 π .

                                                    66

Страницы