Физика. Часть 1. Механика, молекулярная физика и термодинамика. Чухрий Н.И - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

82
Задача 3.6. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около
вертикальной оси, проходящей через ее центр. На краю платформы стоит
человек массой
m
=60кг. На какой угол
ϕ
∆
повернется платформа, если
человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную
точку на платформе. Масса платформы
M
равна 240кг. Момент инерции
J человека рассчитывать как для материальной точки.
Решение: Дано:
m
= 60кг
M
=240кг
ϕ
∆
1
=360
0
J
2
=
2
1
MR²
J
1
=
m
R²
ϕ
∆
2
=?
Момент импульса системы Человек-Платформа должен
системе согласно закону сохранения момента импульса
момент времени система покоилась, и ее суммарн
ый
момент импульса был равен нулю, то в результате движения
человека по окружности радиусом, равным радиусу
платформы, то момент импульса платформы будет равен по
модулю моменту импульса человека (совершающего один полный оборот по
краю диска), т.е. J
1
ω
1
= J
2
ω
2
, где J
1
, J
2
- моменты инерции человека
(как для материальной точки), платформы ( в форме диска);
ω
1
-
относительная угловая скорость движения человека
ω
1
= 2 π/
t
-
ω
2
, где
ω
2
- угловая скорость движения платформы. Угловую скорость движения
платформы найдем как скорость изменения угла поворота в единицу
времени:
ω
2
=
ϕ
∆
2
/
t
, где
t
- время, за которое человек совершил этот
один полный оборот (2
π
).
Выполним подстановку переменных в закон сохранения момента
импульса системы:
J
1
ω
1
= J
2
ω
2
;
1
m
·
R
²· (2π/t -
ω
2
)=
2
1
m
2
·
R
²·
ω
2
;
1
m
·
R
2
)
2
1
2
2
(
2
1
2
2
ω
π
⋅=⋅ ⋅+⋅ RmRm
t
;
так как
ω
2
=
ϕ
∆
2
/
t
, то ⋅+=⋅⋅ )
12
2
1
(
1
22
2
mmR
t
Rm
π
t
ϕ
∆
,
или, сокращая обе части уравнения на 0
2
≠
t
R
, получим:
ϕπ ∆⋅+= )5,0(2
121
mmm
2
;
ϕ
∆
2
=
12
1
2
4
mm
m
+
⋅π
.
Выполним расчеты: 
     Задача 3.6. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около
вертикальной оси, проходящей через ее центр. На краю платформы стоит
человек массой m =60кг. На какой угол ∆ϕ повернется платформа, если
человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную
точку на платформе. Масса платформы M равна 240 кг. Момент инерции
J человека рассчитывать как для материальной точки.
Дано:                        Решение:
m = 60кг                      Момент импульса системы      Человек-Платформа должен
M =240кг                     оставаться постоянным при любых            изменениях в
                             системе согласно закону сохранения момента импульса
∆ϕ 1 =360    0
                             замкнутой системы. Следовательно, если в       начальный
J 2 = 12 MR²                 момент времени система покоилась, и ее суммарный
                             момент импульса был равен нулю, то в результате движения
J1 = m R²                    человека по окружности радиусом, равным радиусу
                             платформы, то момент импульса платформы будет равен по
∆ϕ 2 =?
модулю моменту импульса человека (совершающего один полный оборот по
краю диска), т.е. J 1 ω 1 = J 2 ω 2 , где J1 , J 2 - моменты инерции человека
(как для материальной точки),          платформы ( в форме диска); ω 1 -
относительная угловая скорость движения человека                                          ω 1 = 2 π/ t    -   ω 2,   где
ω 2-  угловая скорость движения платформы. Угловую скорость движения
платформы найдем как скорость изменения угла поворота в единицу
времени: ω 2 = ∆ϕ 2 / t , где t - время, за которое человек совершил этот
один полный оборот (2 π ).
     Выполним подстановку переменных в закон сохранения момента
импульса системы:
       Jω1       1   = J 2 ω 2;            m1 · R ²· (2π/t - ω   2   )=
                                                                          1
                                                                          2
                                                                              m    2   · R ²· ω 2 ;

              2π 1
       m1 · R    = ( m ⋅ R 2 + m ⋅ R 2 ) ⋅ ω2 ;
                     2
                         ⋅
               t 2 2                 1

так как ω 2 = ∆ϕ 2 / t , то m1 ⋅ R ⋅
                                     2π = R ( 1 m   2            2
                                                                              + m )⋅
                                                                                             ∆ϕ
                                                                                                  ,
                                       t      2 2                                1            t
                                                                                              R2
или,    сокращая                   обе      части       уравнения             на                    ≠0,       получим:
                                                                                                t
2πm1 = (0,5m2 + m1 ) ⋅ ∆ϕ 2 ;
                              4π ⋅ m1
       ∆ϕ 2 =                          .
                             m 2 + 2m1
Выполним расчеты:


                                                         82

Страницы