Физика. Часть 1. Механика, молекулярная физика и термодинамика. Чухрий Н.И - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

86
m
1
=
m
2
=
m
R
1
=
R
2
=
R
h
1
=
h
2
=
h
v
1
(
h
)/
v
2
(
h
) =?
Воспользуемся законом сохранения энергии для двух
состояний каждого из тел для нахождения их скоростей, а
затем отношения этих скоростей.
В начальном состоянии на уровне высотой
тела
(цилиндр и шар) обладают потенциальными энергиями
равными
mgH
, так как их массы равны.
Эта энергия на некотором уровне
h
1
=
h
2
=
h
переходит в сумму
потенциальных
Е
п
=
mgh
и кинетических для каждого тела согласно
закону сохранения энергии (в отсутствии сил трения):
для цилиндра:
mgH
=
mgh
+
Е
КЦ
,
для шара:
mgH
=
mgh
+
Е
КШ
;
где
Е
КЦ
=
Е
КЦ
(поступ.)+
Е
КЦ
(вращ.)=
2
2
Ц
mv
+
2
2
ЦЦ
J ω×
;
Е
КШ
=
Е
КШ
(поступ.)+
Е
КШ
(вращ.)=
2
2
Ш
mv
+
2
2
ШШ
J ω×
.
Момент инерции цилиндра:
2
2
mR
J
Ц
=
,
момент инерции шара:
5
2
2
mR
J
Ш
=
,
где
R
- радиус цилиндра или шара ( имеющие одинаковое значение по
условию задачи). Воспользуемся формулой связи угловой и линейной
скоростей движения тел в виде:
v
=
ω
R
и получим:
Для цилиндра:
mgH
=
mgh
+
2
2
Ц
mv
+
2
2
mR
2
2
R
v
Ц
2
1
,
Для шара:
mgH
=
mgh
+
2
2
Ц
mv
+
5
2
2
mR
2
2
R
v
Ш
2
1
,
Решим совместно эти уравнения относительно линейных скоростей
v
Ц
и
v
Ш
, затем найдем их отношение:
mgH
-
mgh
=
v
Ц
²
m
(
2
1
+
4
1
),
mgH
-
mgh
=
v
Ш
²
m
(
2
1
+
5
1
).
Отсюда: (
v
Ц
/
v
Ш
)²=14/15 для любых значений высот
и
h
.
Ответ: (
v
Ц
/
v
Ш
)²=14/15 . 
m     1
          =m 2=m        Воспользуемся законом сохранения энергии для двух
                        состояний каждого из тел для нахождения их скоростей, а
R 1= R 2 = R            затем отношения этих скоростей.
h 1= h 2 = h            В начальном состоянии на уровне высотой H тела
v 1 ( h )/ v 2 ( h ) =? (цилиндр и шар) обладают потенциальными энергиями
                        равными mgH , так как их массы равны.
Эта энергия на некотором уровне h 1 = h 2 = h переходит в сумму
потенциальных                  Е п = mgh            и кинетических для каждого тела согласно
закону сохранения энергии (в отсутствии сил трения):
для цилиндра:
      mgH = mgh + Е КЦ ,
для шара:
      mgH = mgh + Е КШ ;
                                                                         mv Ц2       J Ц × ω Ц2
где   Е    КЦ   =   Е   КЦ   (поступ.)+        Е   КЦ   (вращ.)=
                                                                           2
                                                                                 +
                                                                                         2
                                                                                              ;
                                                 2
                                              mv Ш                                        J Ш ×ωШ
                                                                                                2

          Е КШ = Е КШ (поступ.)+ Е КШ (вращ.)= 2                                        +
                                                                                              2
                                                                                                  .
Момент инерции цилиндра:
           mR 2
      JЦ =      ,
             2
 момент инерции шара:
           2mR2
      JШ =      ,
             5
где R - радиус цилиндра или шара ( имеющие одинаковое значение по
условию задачи). Воспользуемся формулой связи угловой и линейной
скоростей движения тел в виде: v = ω R и получим:
Для цилиндра:
                                                                 2
                         mR 2 v Ц 1  mv Ц2
          mgH = mgh + 2 + 2         ,
                               R2 2
Для шара:
                                                                     2
                                     mv Ц2
                            2mR 2 v Ш 1
       mgH = mgh + 2 + 5                ,
                                   R2 2
Решим совместно эти уравнения относительно линейных скоростей                                                      v   Ц   и
v Ш , затем найдем их отношение:
                                                        1   1                                              1   1
          mgH - mgh = v                Ц   ²   m    ( + ),           mgH - mgh = v                Ш   ² m ( + ).
                                                        2   4                                              2   5
Отсюда:             (v Ц /v    Ш   )²=14/15 для любых значений высот                              H и h.
                                         Ответ: ( v Ц / v Ш )²=14/15 .

                                                                86

Страницы