ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10
2.6. Указания к задаче 6
Если существует конечный предел
l=
∞→
n
n
a
n
lim
, то при 10 <≤ l ряд
∑
∞
=1n
n
a
сходится абсолютно, при 1>l ─ расходится, а при 1=l ─ требуется
дополнительное исследование (признак Коши).
Пример 6.1.
Исследовать на сходимость ряд
⋅
∑
∞
=1
24
4
n
n
n
arctgn
π
(6.1)
Решение.
Имеем
,0
4
2
4
lim
4
24
lim
=
∞→
=
∞→
n
arctg
n
n
n
n
n
n
arctgn
n
ππ
(6.2)
так как
1
1
lim
=
∞→
x
x
x
. Действительно, логарифмируя функцию
x
xy
1
= ,
получаем
x
x
y
ln
ln = , отсюда по правилу Лопиталя
0
1
1
lim
ln
lim
ln
lim
=
+∞→
=
+∞→
=
+∞→
x
x
x
x
x
y
x
,
следовательно,
1
0
lim
==
+∞→
ey
x
, т.е.
1
1
lim
=
+∞→
x
x
x
.
Из равенства (6.2) следует, что ряд (6.1) сходится.
2.7. Указания к задаче 7
Если
()
nfa
n
=
, где функция
()
xf
непрерывная в промежутке
[
)
∞,1 , а при
1≥≥ dx неотрицательная и невозрастающая, то ряд
∑
∞
=1
n
n
a и интеграл
()
∫
∞
d
dxxf
сходятся или расходятся одновременно (интегральный признак Коши).
Пример 7.1.
Исследовать на сходимость ряд
()
⋅
−
∑
∞
=2
2
2ln2
3
n
nn
n
(7.1)
Решение.
Рассмотрим вспомогательный ряд
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
