Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. Чумакин М.Е - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

12
()
()
()
()
()
.10
2
3
3
1
lim
!1
3
:
!2
3
1
lim
<=
+
+
∞←
=
++
+
∞→ nn
n
n
n
n
n
n
n
Следовательно, ряд (8.2) сходится абсолютно.
Пример 8.3.
Исследовать на сходимость ряд
()
⋅−
∑
∞
=
+
1
1
2
1
1
n
n
n
(8.3)
Решение. Члены данного знакочередующегося ряда (8.3) по абсолютной
величине монотонно убывают
()
12
1
2
1
+
>
nn
и
0
2
1
lim
=
∞→
n
n
, следовательно, ряд
(8.3 ) сходится.
Ряд
∑
∞
=1
2
1
n
n
, составленный из абсолютных величин членов ряда (8.3),
получается из гармонического ряда
∑
∞
=1
1
n
n
в результате умножения всех его
членов на
2
1
. Гармонический ряд расходится, значит, указанный ряд также
расходится.
Таким образом, ряд (8.3) сходится условно (неабсолютно).
2.9. Указания к задаче 9
Остаток ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, также
удовлетворяет условиям этого признака. Поэтому сумма остатка такого ряда
имеет знак первого члена остатка и не превосходит его по абсолютной
величине. Отсюда следует, что если при вычислении суммы ряда,
удовлетворяющего условиям признака Лейбница, мы ее приближенно заменяем
частичной суммой, то допущенная ошибка имеет знак первого отброшенного
члена и не превосходит его по абсолютной величине.
Пример 9.1
Вычислить сумму ряда
()
∑
∞
=
+
−
1
2
3
1
1
n
n
n
n
(9.1)
с точностью
001,0
=
α
.
Решение.
Если в качестве суммы ряда (9.1) взять сумму первых n-1 членов, то
ошибка по абсолютной величине не превосходит числа
2
3
1
+
=
n
n
n
a
. Так как
001,0
784
3
2
3
31
3
3
,001,0
4225
4
2
3
41
4
4
>=
+
=<=
+
= aa
, то с точностью до 0,001
имеем

Страницы