Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. Чумакин М.Е - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

14
() ()
()()
()
10
1
2
12
22
2
lim
1
2
!!12
!!21
2
1
lim
1
lim
<=
++
++
∞→
=
++
⋅
++
∞→
=
+
∞→
nn
nn
n
nn
nn
n
n
a
n
a
n
.
Следовательно, по признаку Даламбера ряд (10.2) сходится, значит,
0
lim
=
∞→
n
a
n
, т.е. имеет место равенство (10.1).
3.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
3.1. Указания к задаче 11
Пусть ф ункции
()
Nnx
n
U ∈ ,
, определены в области D. Выражение
() () () ()
∑
∞
=
∈=++++
1
,......
21
n
Dxx
n
Ux
n
UxUxU
(11.1)
называется функциональным рядом.
Если для
Dx ∈
0
числовой ряд
()
∑
∞
=1
0
n
x
n
U
сходится, то говорят, что
функциональный ряд (11.1) сходится в точке
0
x
.
Если функциональный ряд (11.1) сходится в каждой точке
DEx
⊂
⊂⊂
⊂∈
∈∈
∈ , то
этот ряд называется сходящимся на множестве Е.
Если на множестве
DE
⊂
сходится ряд
()
∑
∞
=1n
n
xU
, то ряд (11.1) называется
абсолютно сходящимся на множестве
E
.
Для определения области абсолютной сходимости ряда (11.1) следует
воспользоваться либо признаком Даламбера, либо признаком Коши. Если
()
()
()
x
x
n
U
x
n
U
n
l
=
+
∞→
1
lim
или
() ()
,
lim
x
n
x
n
U
n
l
=
∞→
то для определения области абсолютной сходимости ряда (11.1) следует решить
функциональное неравенство
()
1<xl
, а для определения области расходимости
─ неравенство
()
1>xl
. Для выяснения сходимости ряда в точках, в которых
()
1=xl
, требуется дополнительное исследование.
Пример 11.1.
Найти область сходимости функционального ряда
∑
∞
=
+
+
1
12
1
2
n
n
x
n
x
. (11.2)
Решение.
Члены
()
12
1
2
+
+
=
n
x
n
x
x
n
U
ряда (11.2) не определены при
.1−=x
Предположим
1−≠x
и найдем предел

Страницы