ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
16
Итак, ряд (11.3) сходится при
()
U
∞−−∞−∈
,
3
1
1,x
, притом абсолютно.
Пример 11.3.
Найти область сходимости функционального ряда
⋅
+
∑
∞
=1
2
n
xn
x
(11.4)
Решение.
Члены ряда (11.4) определены для всех
Rx
∈
∈∈
∈ . При
0
=
==
=
x
ряд (11.4)
сходится. Покажем, что при любом
0
≠
≠≠
≠
x
он расходится. Действительно, ряд
∑
∞
=
+
1
2
1
n
xn
расходится, так как
1
1
:
1
lim
2
=
+
∞→
n
xn
n
.
Следовательно, данный ряд
∑∑
∞
=
∞
=
+
=
+
1
2
1
2
1
nn
xn
x
xn
x
также расходится при 0≠x .
3.2. Указания к задаче 12
Задача 12 решается аналогично задаче 11.
Пример 12.1.
Найти область сходимости функционального ряда
()
∑
∞
=
−
1
2
4
2
sin
2
3
n
n
n
nxx
n
π
. (12.1)
Решение.
Учитывая справедливость равенства
()()
Nnxnx
n
∈−=− ,sin1sin
π
,
общий член ряда (12.1) можно переписать в виде
()
()
xx
n
xU
n
n
n
n
sin
2
31
2
4
2
−
=
.
Так как
()
()
()
()
()
,
2
9sin
2
4
2
2
31
:sin
12
4
12
12
3
1
1
lim
1
lim
xx
n
x
n
n
n
x
n
x
n
n
n
n
x
n
U
x
n
U
n
=
−
+
+
+
+
−
∞→
=
+
∞→
то ряд (12.1) абсолютно сходится при
19
2
<x
, т.е. при
3
1
<x
. При
3
1
=x
получаем знакочередующийся числовой ряд
()
∑
∞
=
+
−
1
4
2
1
1
3
1
sin
n
n
n
, (12.2)
который, по теореме Лейбница, сходится. Но ряд, составленный из абсолютных
величин членов ряда (12.2), расходится, значит, ряд (12.2) сходится условно.
При
3
1
−=x
получаем ряд
()
∑
∞
=
+
−
1
4
1
2
1
3
1
sin
n
n
n
, который также сходится условно.
Итак, ряд (12.1) сходится при
−∈
3
1
,
3
1
x
, притом абсолютно при
−∈
3
1
,
3
1
x
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
