ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
15
()
()
()
>=
<
=
=
+
+
+
+
∞→
=
+
+
++
+
+
∞→
=
+
∞→
=
.1 или 1 при 1
,1 при
2
32
1
322
lim
12
1
2
:
112
1
12
lim
1
lim
xx
xx
n
x
n
xx
n
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
U
x
n
U
n
xl
Следовательно, области абсолютной сходимости ряда (11.2) будут
принадлежать значения
x
, удовлетворяющие системе
<
<
,1
,1
2
x
x
значит, 11 <<− x , а при 1=x или
1>x
требуется дополнительное исследование.
Так как
()
>
=
=
+
∞→
=
∞→
+
,1 при
1
,1 при
2
1
1
limlim
12
2
x
x
x
x
x
n
x
n
U
n
n
отличен от нуля, то при любом фиксированном
1
>
>>
>
x
или
1
=
==
=
x
ряд (11.2)
расходится.
Таким образом, ряд (11.2) абсолютно сходится в точках интервала (-1,1), а
во всех остальных точках расходится.
Пример 11.2.
Найти область сходимости функционального ряда
n
n
x
x
n
n
++
∑
∞
=
121
1
. (11.3)
Решение.
Члены
()
n
n
x
x
n
n
xU
++
=
121
ряда (11.3) определены для всех
2
1
−≠x
. Так
как
()
12121
limlim
+
=
++
∞→
=
∞→
x
x
x
x
n
n
n
n
x
n
U
n
n
n
, то ряд (11.3) сходится абсолютно
при
1
12
<
+x
x
.
Решениями последнего неравенства являются решения системы неравенств
−>
+
<
+
.1
12
,1
12
x
x
x
x
Решая эту систему, получаем, что ряд (11.3) сходится абсолютно при
1−<x
или
3
1
−>x
.
При
1−=x
и
3
1
−=x
соответственно получаем числовые ряды
∑
∞
=
+
1
1
n
n
n
и
()
∑
∞
=
+
−
1
1
1
n
n
n
n
, которые расходятся.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
