Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. Чумакин М.Е - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

18
()
()
()
10
2
3
3
1
lim
2
3
3
2
1
limlim
2
1
<=
+
∞→
=
−
⋅
+
−
∞→
=
∞→
n
x
x
n
n
n
x
n
x
n
n
n
x
n
U
n
при
всех
[
)
+∞∈ ,3x
.
Следовательно, областью сходимости ряда (12.4) является промежуток
[
)
+∞,3
, притом сходимость всюду абсолютная.
3.3. Указания к задаче 13
Задача 13 решается аналогично задачам 11 и 12.
Пример. 13.1.
Найти область сходимости функционального ряда
∑
∞
=
−
+
1
2
4
1
3
n
x
n
n
n
. (13.1)
Решение.
Члены ряда (13.1)
()
x
n
n
n
n
xU
2
4
1
3
−
⋅
+=
определены при 0≠x и
()
<∞
>
=
−
⋅
+
∞→
=
−
⋅
+
∞→
=
∞→
.0 при
,0 при 0
4
1
3
lim
2
4
1
3
limlim
x
x
x
n
n
n
n
x
n
n
n
n
n
x
n
U
n
Следовательно, ряд (13.1) абсолютно сходится для
()
+∞∈ ,0x .
3.4. Указания к задаче 14
Задача 14 решается аналогично задачам 11, 12 и 13.
Пример 14.1.
Найти область сходимости функционального ряда
()
∑
∞
=
+
+
1
2
5
12
1
n
n
n
xn
. (14.1)
Решение.
Так как общий член ряда (14.1)
()
()
12
1
2
5
+
+
=
n
xn
xU
n
n
и
()
()
() ()
2
12
2
5
1
:
32
22
5
2
lim
1
lim
x
n
n
xn
n
n
xn
n
x
n
U
x
n
U
n
=
+
+
+
+
+
∞→
=
+
∞→
,
то ряд (14.1) сходится абсолютно при
1
2
<x
, т.е. в интервале (-1,1). При 1±=x
имеем числовой ряд
()
∑
∞
=
+
+
1
5
12
1
n
n
n
, который расходится, так как общий член этого
ряда не стремится к нулю при ∞→n .
Таким образом, областью сходимости ряда (14.1) является интервал (-1,1),
притом сходимость всюду абсолютная.

Страницы